高中数学试题

下列函数 $f\left(x\right)$ 中，满足"对任意 $x_1,x_2\in \left(0,+\infty \right)$ ，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$ 的是（ ）

A．

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

B．

$f\left(x\right)=(x-1{)}^2$

C．

$f\left(x\right)=e^x$

D．

$f\left(x\right)=\mathit{ln}(x+1)$

${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\mathit{cos}x)\mathit{dx}$ 等于（ ）

A．

$\pi$

B．

$2$

C．

$\pi -2$

D．

$\pi +2$

等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{\begin{array}{c}n\\ \end{array}}$ ，且 $S_3=6$ ， $a_1=4$ ， 则公差 $d$ 等于（ ）

A．

$1$

B．

$\frac{5}{3}$

C．

$-2$

D．

$3$

已知全集 $U=R$ ，集合 $A=\left\{x\right|x^2-2x>0\}$ ，则 ${\complement }_{U}A$ 等于（ ）

A．	$\left\{x\left|0\le x\le 2\right.\right\}$	B．	$\left\{x\left|0<x<2\right.\right\}$
C．	$\left\{x\left|x<0或x>2\right.\right\}$	D．	$\left\{x\left|x\le 0或x\le 2\right.\right\}$

函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}x\mathit{cos}x$ 最小值是（ ）

A．

$-1$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$1$

已知二次函数 $y=g\left(x\right)$的导函数的图像与直线 $y=2x$平行，且 $y=g\left(x\right)$在 $x=-1$处取得极小值 $m-1(m\ne 0)$．设 $f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x}$．

（１）若曲线 $y=f\left(x\right)$上的点 $P$到点 $Q(0,2)$的距离的最小值为 $\sqrt{2}$，求 $m$的值；

（２） $k(k\in R)$如何取值时，函数 $y=f\left(x\right)-\mathit{kx}$存在零点，并求出零点．

已知曲线 $C:y=x^2$与直线 $l:x-y+2=0$交于两点 $A(x_A,y_A)$和 $B(x_B,y_B)$，且 $x_A<x_B$．记曲线 $C$在点 $A$和点 $B$之间那一段 $L$与线段 $\mathit{AB}$所围成的平面区域（含边界）为 $D$．设点 $P(s,t)$是 $L$上的任一点，且点 $P$与点 $A$和点 $B$均不重合．

（１）若点 $Q$是线段 $\mathit{AB}$的中点，试求线段 $\mathit{PQ}$的中点 $M$的轨迹方程；

（２）若曲线 $G:x^2-2\mathit{ax}+y^2-4y+a^2+\frac{51}{25}=0$与点 $D$有公共点，试求 $a$的最小值．

如下图，已知正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的棱长为２，点Ｅ是正方形 $\mathit{BC}{C}_1{B}_1$的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 $C_1{D}_1,A{A}_1$的中点．设点 $E_1,G_1$分别是点Ｅ，Ｇ在平面 $\mathit{DC}{C}_1{D}_1$内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 $\mathit{FGAE}$在平面 $\mathit{DC}{C}_1{D}_1$内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线 $F{G}_1\perp \mathit{平面}\mathit{FE}{E}_1$；

（３）求异面直线 $E_1{G}_1与\mathit{EA}$所成角的正弦值.

根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

对某城市一年（ 365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 $[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]$ 进行分组，得到频率分布直方图如下图.

                         

（1）求直方图中 $x$ 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

(结果用分数表示．已知 $5^7=78125,2^7=128,\frac{3}{1825}+\frac{2}{365}+\frac{7}{1825}+\frac{3}{1825}+\frac{8}{9125}=\frac{123}{9125},365=73\times 5$ ）

已知向量 $a=(\mathit{sin}\theta ,-2)与b=(1,\mathit{cos}\theta )$互相垂直，其中 $\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$．

（1）求 $\mathit{sin}\theta 和\mathit{cos}\theta$的值；

（2）若 $\mathit{sin}(\theta -\phi )=\frac{\sqrt{10}}{10},0<\phi <\frac{\pi }{2}$，求 $\mathit{cos}\phi$的值．     

如下图，点 $A,B,C$ 是圆 $O$ 上的点， 且 $\mathit{AB}=4,\angle \mathit{ACB}=45^0$ ，则圆 $O$ 的面积等于       ．

不等式 $\frac{\left|x+1\right|}{\left|x+2\right|}\ge 1$的实数解为       ．

若直线 $l_1:\left\{\begin{array}{c}x=1-2t,\\ y=2+\mathit{kt}.\end{array}\right.\left(t\mathit{为参数}\right)$ 与直线 $l_2:\left\{\begin{array}{c}x=s,\\ y=1-2s.\end{array}\right.\left(s\mathit{为参数}\right)$ 垂直，则 $k=$       ．

已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下图．若 $\mathit{EX}=0$ ， $\mathit{DX}=1$ ，则 $a=$       ， $b=$       ．

已知椭圆 $G$的中心在坐标原点，长轴在 $x$轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $G$一点到 $G$的两个焦点的距离之和为 $12$，则椭圆 $G$的方程为       ．