高中数学试题

已知椭圆 $C:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$，点 $A\left(-2,0\right)$在 $C$上．

（1）求 $C$的方程；

（2）过点 $\left(-2,3\right)$的直线交 $C$于点 $P$， $Q$两点，直线 $AP$， $AQ$与 $y$轴的交点分别为 $M$， $N$，证明：线段 $MN$的中点为定点．

如图，在三棱锥 $P-ABC$中， $AB\perp BC$， $AB=2$， $BC=2\sqrt{2}$， $PB=PC=\sqrt{6}$， $BP$， $AP$， $BC$的中点分别为 $D$， $E$， $O$，点 $F$在 $AC$上， $BF\perp AO$．

（1）求证： $EF\parallel$平面 $ADO$；

（2）若 $\angle POF=120°$，求三棱锥 $P-ABC$的体积．

记 $S_n$为等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，已知 $a_2=11$， $S_{10}=40$．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）求数列 $\left\{\left|a_n\right|\right\}$的前 $n$项和 $T_n$．

某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 $10$次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_i$， $y_i\left(i=1,2,...10\right)$．试验结果如下：

试验序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率 $x_i$	545	533	551	522	575	544	541	568	596	548
伸缩率 $y_i$	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536

记 $z_i=x_i-y_i\left(i=1,2,...,10\right)$，记 $z_1,z_2,...z_{10}$的样本平均数为 $\overline{z}$，样本方差为 $s^2$．

（1）求 $\overline{z}$， $s^2$；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果 $\overline{z}\ge 2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

已知点 $S$， $A$， $B$， $C$均在半径为 $2$的球面上， $△ABC$是边长为 $3$的等边三角形， $SA\perp$平面 $ABC$，则 $SA=$＿＿＿＿＿＿．

若 $x$， $y$满足约束条件 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-3y\le 1 \\ x+2y\le 9 \\ 3x+y\ge 7\\ \end{array}\right. \end{gathered}$$，则 $z=2x-y$的最大值为＿＿＿＿＿＿．

若 $\theta \in \left(0,\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$， $\tan \theta =\frac{1}{3}$，则 $\sin \theta -\cos \theta =$＿＿＿＿＿＿．

已知点 $A\left(1,\sqrt{5}\right)$在抛物线C: $y^2=2px$上，则 $A$到 $C$的准线的距离为＿＿＿＿＿＿．

设， $B$为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$上两点，下列四个点中，可为线段 $AB$中点的是　　

A．

$\left(1,1\right)$

B．

$\left(-1,2\right)$

C．

$\left(1,3\right)$

D．

$\left(-1,-4\right)$

已知实数 $x$， $y$满足 $x^2+y^2-4x-2y-4=0$，则 $x-y$的最大值是　　

A．

$1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$

B．

$4$

C．

$1+3\sqrt{2}$

D．

$7$

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\omega x+\phi \right)$在区间 $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)$单调递增，直线 $x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$和 $x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$为函数 $y=f\left(x\right)$的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right)=$（ ）

A．

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

某学校举办作文比赛，共 $6$个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为　　

A．

$\frac{5}{6}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{1}{3}$

函数 $f\left(x\right)=x^3+ax+2$存在 $3$个零点，则 $a$的取值范围是　　

A．

$\left(-\infty ,-2\right)$

B．

$\left(-\infty ,-3\right)$

C．

$\left(-4,-1\right)$

D．

$\left(-3,0\right)$

设 $O$为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{\overline{)\left(x,y\right)}1⩽x^2+y^2⩽4\right\}$内随机取一点，记该点为 $A$，则直线 $OA$的倾斜角不大于 $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$的概率为　　

A．

$\frac{1}{8}$

B．

$\frac{1}{6}$

C．

$\frac{1}{4}$

D．

$\frac{1}{2}$

正方形 $ABCD$的边长是 $2$， $E$是 $AB$的中点，则 $\overrightarrow{EC}·\overrightarrow{ED}=$（ ）

A．

$\sqrt{5}$

B．

$3$

C．

$2\sqrt{5}$

D．

$5$