高中数学试题

已知点 $A\left(1,\sqrt{5}\right)$在抛物线C: $y^2=2px$上，则 $A$到 $C$的准线的距离为＿＿＿＿＿．

已知 $\odot O$的半径为 $1$，直线 $PA$与 $\odot O$相切于点 $A$，直线 $PB$与 $\odot O$交于 $B$， $C$两点， $D$为 $BC$的中点，若 $\left|PO\right|=\sqrt{2}$，则 $\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PD}$的最大值为（ ）

A．

$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$

C．

$1+\sqrt{2}$

D．

$2+\sqrt{2}$

设 $A$， $B$为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$上两点，下列四个点中，可为线段 $AB$中点的是（ ）

A．

$\left(1,1\right)$

B．

$\left(-1,2\right)$

C．

$\left(1,3\right)$

D．

$\left(-1,-4\right)$

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差为 $\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$，集合 $S=\left\{\overline{)\cos a_n}n\in N^{*}\right\}$，若 $S=\left\{a,b\right\}$，则 $ab=$（ ）

A．

$-1$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$0$

D．

$\frac{1}{2}$

已知 $△ABC$为等腰直角三角形， $AB$为斜边， $△ABD$为等边三角形，若二面角 $C-AB-D$为 $150°$，则直线 $CD$与平面 $ABC$所成角的正切值为（ ）

A．

$\frac{1}{5}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{5}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{5}$

D．

$\frac{2}{5}$

已知圆锥 $PO$的底面半径为 $\sqrt{3}$， $O$为底面圆心， $PA$， $PB$为圆锥的母线， $\angle AOB=120°$，若 $△PAB$的面积等于 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$，则该圆锥的体积为（ ）

A．

$\mathrm{\pi }$

B．

$\sqrt{6}\mathrm{\pi }$

C．

$3\mathrm{\pi }$

D．

$3\sqrt{6}\mathrm{\pi }$

甲乙两位同学从 $6$种课外读物中各自选读 $2$种，则这两人选读的课外读物中恰有 $1$种相同的选法共有（ ）

A．

$30$种

B．

$60$种

C．

$120$种

D．

$240$种

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\omega x+\phi \right)$在区间 $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)$单调递增，直线 $x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$和 $x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$为函数 $y=f\left(x\right)$的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right)=$　（ ）

A．

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

设 $O$为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{\overline{)\left(x,y\right)}1\le x^2+y^2\le 4\right\}$内随机取一点，记该点为 $A$，则直线 $OA$的倾斜角不大于 $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$的概率为（ ）

A．

$\frac{1}{8}$

B．

$\frac{1}{6}$

C．

$\frac{1}{4}$

D．

$\frac{1}{2}$

已知 $f\left(x\right)=\frac{x{e}^x}{e^{ax}-1}$是偶函数，则 $a=$（ ）

A．

$-2$

B．

$-1$

C．

$1$

D．

$2$

如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 $1$，则该零件的表面积为（ ）

A．

$24$

B．

$26$

C．

$28$

D．

$30$

设集合 $U=R$，集合 $M=\left\{\overline{)x}x<1\right\}$， $N=\left\{\overline{)x}-1<x<2\right\}$，则 $\left\{\overline{)x}x\ge 2\right\}=$（ ）

A．

$C_U\left(M\cup N\right)$

B．

$N\cup C_{U}M$

C．

$C_U\left(M\cap N\right)$

D．

$M\cup C_{U}N$

设 $z=\frac{2+i}{1+i^2+i^5}$，则 $\overline{z}=$　（ ）

A．

$1-2i$

B．

$1+2i$

C．

$2-i$

D．

$2+i$

[选修4-5：不等式选讲]

已知 $f\left(x\right)=2\left|x\right|+\left|x-2\right|$．

（1）求不等式 $f\left(x\right)\le 6-x$的解集；

（2）在直角坐标系 $xOy$中，求不等式组 $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le y\\ x+y-6\le 0\end{array}\right.$所确定的平面区域的面积．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $xOy$中，以坐标原点 $O$为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_1$的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\le \theta \le \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$，曲线 $C_2:\left\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha \\ y=2\sin \alpha \end{array}\right.$（ $\alpha$为参数， $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$）．

（1）写出 $C_1$的直角坐标方程；

（2）若直线 $y=x+m$既与 $C_1$没有公共点，也与 $C_2$没有公共点、求 $m$的取值范围．