高中数学试题

噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $L_p=20\times lg\frac{p}{p_0}$，其中常数 $p_0\left(p_0>0\right)$是听觉下限阈值， $p$是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源	与声源的距离 $/m$	声压级 $/dB$
燃油汽车	$10$	$60~90$
混合动力汽车	$10$	$50~60$
电动汽车	$10$	$40$

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $10m$处测得实际声压分别为 $p_1,p_2,p_3$，则（ ）

A．

$p_1\ge p_2$

B．

$p_2>10p_3$

C．

$p_3=100p_0$

D．

$p_1\le 100p_2$

有一组样本数据 $x_1,x_2,...,x_6$，其中 $x_1$是最小值， $x_6$是最大值，则（ ）

A．	$x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数等于 $x_1,x_2,...,x_6$的平均数
B．	$x_2,x_3,x_4,x_5$的中位数等于 $x_1,x_2,...,x_6$的中位数
C．	$x_2,x_3,x_4,x_5$的标准差不小于 $x_1,x_2,...,x_6$的标准差
D．	$x_2,x_3,x_4,x_5$的极差不大于 $x_1,x_2,...,x_6$的极差

已知 $\sin \left(\alpha -\beta \right)=\frac{1}{3}$， $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{6}$，则 $\cos \left(2\alpha +2\beta \right)=$　（ ）

A．

$\frac{7}{9}$

B．

$\frac{1}{9}$

C．

$-\frac{1}{9}$

D．

$-\frac{7}{9}$

记 $S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，设甲： $\left\{a_n\right\}$为等差数列；乙： $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$为等差数列，则（ ）

A．	甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．	甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．	甲是乙的充要条件
D．	甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

过点 $\left(0,-2\right)$与圆 $x^2+y^2-4x-1=0$相切的两条直线的夹角为 $\alpha$，则 $\sin \alpha =$　　（ ）

A．

$1$

B．

$\frac{\sqrt{15}}{4}$

C．

$\frac{\sqrt{10}}{4}$

D．

$\frac{\sqrt{6}}{4}$

设椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1\left(a>1\right)$， $C_2:\frac{x^2}{4}+y^2=1$的离心率分别为 $e_1$， $e_2$．若 $e_2=\sqrt{3}{e}_1$，则 $a=$（ ）

A．

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\sqrt{3}$

D．

$\sqrt{6}$

设函数 $f\left(x\right)=2^{x\left(x-2\right)}$在区间 $\left(0,1\right)$单调递减，则 $a$的取值范围是（ ）

A．

$(-\infty ,-2]$

B．

$[-2,0)$

C．

$(0,2]$

D．

$[2,+\infty )$

已知向量 $\overrightarrow{a}=\left(1,1\right)$， $\overrightarrow{b}=\left(1,-1\right)$．若 $\left(\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}\right)\perp \left(\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}\right)$，则（ ）

A．

$\lambda +\mu =1$

B．

$\lambda +\mu =-1$

C．

$\lambda \mu =1$

D．

$\lambda \mu =-1$

已知 $z=\frac{1-i}{2+2i}$，则 $z-\overline{z}=$　（ ）

A．

$-i$

B．

$i$

C．

$0$

D．

$1$

已知集合 $M=\left\{-2,-1,0,1,2\right\}$， $N=\left\{\overline{)x}{x}^2-x-6\ge 0\right\}$，则 $M\cap N=$　（ ）

A．

$\left\{-2,-1,0,1\right\}$

B．

$\left\{0,1,2\right\}$

C．

$\left\{-2\right\}$

D．

$\left\{2\right\}$

[选修4-5：不等式选讲]

已知 $f\left(x\right)=2\left|x\right|+\left|x-2\right|$．

（1）求不等式 $f\left(x\right)\le 6-x$的解集；

（2）在直角坐标系 $xOy$中，求不等式组 $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le y\\ x+y-6\le 0\end{array}\right.$所确定的平面区域的面积．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $xOy$中，以坐标原点 $O$为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_1$的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\le \theta \le \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$，曲线 $C_2:\left\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha \\ y=2\sin \alpha \end{array}\right.$（ $\alpha$为参数， $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$）．

（1）写出 $C_1$的直角坐标方程；

（2）若直线 $y=x+m$既与 $C_1$没有公共点，也与 $C_2$没有公共点、求 $m$的取值范围．

已知椭圆 $C:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$，点 $A\left(-2,0\right)$在 $C$上．

（1）求 $C$的方程；

（2）过点 $\left(-2,3\right)$的直线交 $C$于点 $P$， $Q$两点，直线 $AP$， $AQ$与 $y$轴的交点分别为 $M$， $N$，证明：线段 $MN$的中点为定点．

如图，在三棱锥 $P-ABC$中， $AB\perp BC$， $AB=2$， $BC=2\sqrt{2}$， $PB=PC=\sqrt{6}$， $AD=\sqrt{5}DO$， $BP$， $AP$， $BC$的中点分别为 $D$， $E$， $O$，点 $F$在 $AC$上， $BF\perp AO$．

（1）证明： $EF\parallel$平面 $ADO$；

（2）证明：平面 $ADO\perp$平面 $BEF$；

（3）求二面角 $D-AO-C$的正弦值．

在 $△ABC$中，已知 $\angle BAC=120°$， $AB=2$， $AC=1$．

（1）求 $\sin \angle ABC$；

（2）若 $D$为 $BC$上一点．且 $\angle BAD=90°$，求 $△ADC$的面积．