高中数学试题

如图，已知正方形 $\mathit{OABC}$ ，其中 $\mathit{OA}=a(a>1)$ ，函数 $y=3x^2$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $P$ ，函数 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $Q$ ，当 $\left|\mathit{AQ}\right|+\left|\mathit{CP}\right|$ 最小时，则 $a$ 的值为________．

首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有________种（结果用数值表示）

在 $△A\mathit{BC}$ 中， $\mathit{AC}=3$ ， $3\sin A=2\sin B$ ，且 $\cos C=\frac{1}{4}$ ，则 $\mathit{AB}=$ ________．

在 ${(x+\frac{1}{\sqrt{x}})}^6$ 的展开式中，常数项等于________．

已知 $\{\begin{array}{c}2x+2y=-1\\ 4x+a^{2}y=a\end{array}$ ，当方程有无穷多解时， $a$ 的值为________．

设 $i$ 为虚数单位， $3\bar{z}-i=6+5i$ ，则 $\left|z\right|$ 的值为________

函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$ 的反函数为________．

不等式 $|x+1|<5$ 的解集为________．

计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2-3n+1}{n^2-4n+1}=$ ________．

已知集合 $A=\{1,2,3,4,5\}$ ， $B=\{3,5,6\}$ ，则 $A\cap B=$ ________．

设 $\left\{a_n\right\}$是等差数列， $\left\{b_n\right\}$是等比数列．已知 $a_1=4,b_1=6，b_2=2a_2-2,b_3=2a_3+4$．

（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（Ⅱ）设数列 $\left\{c_n\right\}$满足 $c_1=1,c_n=\left\{\begin{array}{c}1,2^k<n<2^{k+1},\\ b_k,n=2^k,\end{array}\right.$其中 $k\in N^{*}$．

（i）求数列 $\left\{a_{2^n}\left(c_{2^n}-1\right)\right\}$的通项公式；

（ii）求 $\underset{i=1}{\overset{2^n}{\sum }}{a}_i{c}_i\left(n\in N^{*}\right)$．

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点为 $F$，上顶点为 $B$．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 $P$在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$为直线 $\mathit{PB}$与 $x$轴的交点，点 $N$在 $y$轴的负半轴上．若 $\left|\mathit{ON}\right|=\left|\mathit{OF}\right|\mathit{ }$（ $O$为原点），且 $\mathit{OP}\perp \mathit{MN}$，求直线 $\mathit{PB}$的斜率．

如图， $\mathit{AE}\perp$平面 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{CF}\parallel \mathit{AE},\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AB},\mathit{AB}=\mathit{AD}=1,\mathit{AE}=\mathit{BC}=2$．

（Ⅰ）求证： $\mathit{BF}\parallel$平面 $\mathit{ADE}$；

（Ⅱ）求直线 $\mathit{CE}$与平面 $\mathit{BDE}$所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $E-\mathit{BD}-F$的余弦值为 $\frac{1}{3}$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 $\frac{2}{3}$．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（Ⅰ）用 $X$表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 $X$的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设 $M$为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 $M$发生的概率．

在 $△\mathit{ABC}$中，内角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$．已知 $b+c=2a$， $3c\sin B=4a\sin C$．

（Ⅰ）求 $\cos B$的值；

（Ⅱ）求 $\sin \left(2B+\frac{\pi }{6}\right)$的值．