高中数学基本不等式及其应用填空题

设 $x>0,y>0,x+2y=5$，则 $\frac{(x+1)(2y+1)}{\sqrt{\mathit{xy}}}$的最小值为_____________．

李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付 $x$ 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当 $x=10$ 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 $x$ 的最大值为__________．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，P是曲线 $y=x+\frac{4}{x}(x>0)$ 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.

若实数满足，且，则的最小值为        .

已知且，则的最小值是        .

若正实数满足，且恒成立，则的最大值为.