高中数学空间向量的应用试题

如图，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC₁、BC、A₁B₁的中点．

（1）求证：PN⊥AM；
（2）若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．

（本小题满分12分）如图,三棱柱中,,,平面平面,与相交于点.

（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

如图，菱形的边长为，，．将菱形 沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．

（1）求证：面；
（2）求点M到平面ABD的距离．

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（Ⅰ）证明：DN//平面PMB；
（Ⅱ）证明：平面PMB平面PAD；

如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC；⑤．其中正确命题的序号是       ．

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD是正三角形，四边形ABCD是矩形，且，E为PB的中点．

（1）求证：PD∥平面ACE；
（2）求证：AC⊥PB

（本小题满分13分）在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，．

（1）求证：；
（2）求证：平面；

如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，试求的值；
（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

（本小题满分16分）如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上。

（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：平面平面

如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．

（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；
（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
（3）问在棱上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．

（本小题满分10 分）在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD面ABCD，是的中点，作交于点，PD=DC。
         
（1）证明：∥平面；
（2）证明：平面。

某家居装饰设计的形状是如图所示的直三棱柱，其中，，是边长为2（单位：米）的正方形，，点为棱上的动点．

（Ⅰ）现需要对该装饰品的表面进行涂漆处理，假设每平方米的油漆费是40元，则需油漆费多少元？（提示：，结果保留到整数位）
（Ⅱ）当点为何位置时，平面？

（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，，、分别为、的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：．

如图，在四棱锥中，四边形是矩形，侧面⊥底面，若点分别是的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面⊥平面．

三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且，，，分别是，，的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面．