高中数学解答题

如图，在直三棱柱ABC－A ₁B ₁C ₁中，D ， E分别为BC ， AC的中点，AB=BC ．  

求证：

（1） A ₁ B ₁∥平面 DEC ₁；    

（2） BE⊥ C ₁ E．    

在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c

（1）若 a=3 c ， b= $\sqrt{2}$ ，cos B= $\frac{2}{3}$ ，求 c的值；

（2）若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{2b}$ ，求 $\sin (B+\frac{\pi }{2})$ 的值．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： $\frac{x^2}{4}+y^2$ =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．

（1）若P在第一象限，且|OP|= $\sqrt{2}$ ，求P的坐标；

（2）设P（ $\frac{8}{5}，\frac{3}{5}$ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 $\overrightarrow{\mathit{AQ}}=2\overrightarrow{\mathit{AC}}$ ， $\overrightarrow{\mathit{PQ}}=4\overrightarrow{\mathit{PM}}$ ，求直线AQ的方程．

根据预测，某地第n（n∈N ^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a _n和b _n（单位：辆），其中a _n= $\{\begin{array}{c}5n^4+15{，}_{}1\le n\le 3\\ -10n+470{，}_{}n\ge 4\end{array}$ ，b _n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．    

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；    

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S _n=﹣4（n﹣46） ²+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

已知函数f（x）=cos ²x﹣sin ²x+ $\frac{1}{2}$ ，x∈（0，π）．    

（1）求f（x）的单调递增区间；    

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a= $\sqrt{19}$ ，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．

如图，直三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA ₁的长为5．

（1）求三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的体积；    

（2）设M是BC中点，求直线A ₁M与平面ABC所成角的大小.

如图，在平行六面体 $\mathit{ABCD}﹣A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $A{A}_1\perp \mathit{平面}\mathit{ABCD}$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AD}=2$ ， $A{A}_1=\sqrt{3}$ ， $\angle \mathit{BAD}=120°$ ．

（Ⅰ）求异面直线 $A_{1}B$ 与 $A{C}_1$ 所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角 $B﹣A_{1}D﹣A$ 的正弦值．

已知a，b，c，d为实数，且 $a^2+b^2=4$ ， $c^2+d^2=16$ ，证明 $\mathit{ac}+\mathit{bd}\le 8$ ．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，已知直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=-8+t\\ y=\frac{t}{2}\end{array}\right.$ （t为参数），曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2s^2\\ y=2\sqrt{2}s\end{array}\right.$ （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ ， $B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$ ．

（Ⅰ）求AB；

（Ⅱ）若曲线C ₁： $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}$ =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C ₂ ， 求C ₂的方程．

如图， $AB$为半圆 $O$的直径，直线 $PC$切半圆 $O$于点 $C$， $\mathit{AP}\perp \mathit{PC}$ ， $P$为垂足．

求证：（Ⅰ） $\angle \mathit{PAC}=\angle \mathit{CAB}$ ；

（Ⅱ） ${\mathit{AC}}^2=\mathit{AP}•\mathit{AB}$ ．

对于给定的正整数k，若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足： $a_{n-k}+a_{n-k+1}+\dots +a_{n-1}+a_{n+1}+\dots a_{n+k-1}+a_{n+k}=2k{a}_n$ 对任意正整数 $n（n＞k）$ 总成立，则称数列{a _n}是" $P（k）$ 数列"．

（Ⅰ）证明：等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 是" $P（3）$ 数列"；

（Ⅱ）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 既是"P（2）数列"，又是" $P（3）$ 数列"，证明： $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列．

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 $Ⅰ$和正四棱台形玻璃容器 $Ⅱ$的高均为 $32cm$，容器 $Ⅰ$的底面对角线 $AC$的长为 $10\sqrt{7}$ cm，容器 $Ⅱ$的两底面对角线 $EG$， $E{ }_1{G}_{ 1}$的长分别为 $14cm$和 $62cm$．分别在容器 $Ⅰ$和容器 $Ⅱ$中注入水，水深均为 $12cm$．现有一根玻璃棒 $l$，其长度为 $40cm$．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（Ⅰ）将l放在容器 $Ⅰ$中， $l$的一端置于点 $A$处，另一端置于侧棱 $CC{ }_1$上，求 $l$没入水中部分的长度；

（Ⅱ）将l放在容器 $Ⅱ$中， $l$的一端置于点 $E$处，另一端置于侧棱 $G{G}_{ 1}$上，求 $l$没入水中部分的长度．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，椭圆 $E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的左、右焦点分别为 $F{ }_1$， $F_{ 2}$， 离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为 $8$．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点 $F_{ 1}$作直线 $P{F}_{ 1}$的垂线 $l{ }_1$， 过点 $F_{ 2}$作直线 $PF{ }_2$的垂线 $l{ }_2$．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线 $l{ }_1$， $l 2$的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

已知向量 $\vec{a}=（\mathit{cosx}，\mathit{sinx}）$ ， $\vec{b}=（3\mathit{，﹣}\sqrt{3}$ ）， $x\in \left[0，\pi \right]$ ．

（Ⅰ）若 $\vec{a}\parallel \vec{b}$ ，求x的值；

（Ⅱ）记 $f（x）=\vec{a}\cdot \vec{b}$ ，求 $f（x）$ 的最大值和最小值以及对应的x的值．