高中数学解答题

如图所示，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 的底面 $\mathit{ABCD}$ 是边长为 1 的菱形， $\angle \mathit{BCD}={60}^{\circ }$ , $E$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点, $\mathit{PA}\perp$ 底面 $\mathit{ABCD},\mathit{PA}=2$ .

（I） 证明: 平面 $\mathit{PBE}\perp$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ , 且面试是否合格互不影响.

求: ( I ) 至少有 1 人面试合格的概率;

( II ) 签约人数 $\xi$ 的分布列和数学期望.

(1) 求 $7{\mathrm{C}}_6^3-4{\mathrm{C}}_7^4$ 的值;

(2) 设 $m,n\in {\mathbf{N}}^{*},n⩾m$, 求证:

$(m+1)C_m^m+(m+2)C_{m+1}^m+(m+3)C_{m+2}^m+\cdots +n{C}_{n-1}^m+(n+1)C_n^m=(m+1)C_{n+2}^{m+2}$

如图, 在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中, 已知直线 $l:x-y-2=0$, 抛物线 $C:{\mathrm{y}}^2=2\mathit{px}(p>0)$

(1) 若直线 $l$过抛物线 $C$ 的焦点, 求抛物线 $C$ 的方程;

(2) 已知抛物线 $C$ 上存在关于直线 $l$对称的相异两点 $P$ 和 $Q$.

①求证：线段 $\mathit{PQ}$ 的中点坐标为 $(2-p,-p)$;

②求 $p$ 的取值范围.

D.（选做题选修 $4-4$）

设 $a>0,|x-1|<\frac{a}{3},|y-2|<\frac{a}{3}$，求证： $|2x+y-4|<a$。

C.（选做题选修 $4-3$）在平面之间坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知直线 $I$的参数方程式为 $\left\{\begin{array}{c}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}\left(t\text{为参数}\right)\right.$，

椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\cos \theta ,\\ y=2\sin \theta \end{array}\mathrm{}(\theta \right.$ 为参数）.设直线 $I$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$, $B$ 两点, 求线段 $\mathit{AB}$ 的长.

B.（选择题选修 4－2）已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -2\end{array}\right]$, 矩阵 $B$ 的逆矩阵 $B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}\\ 0& 2\end{array}\right]$, 求矩阵 $\mathit{AB}$.

A.（选做题选修 $4-1$）如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$， $D$为垂足， $E$为 $\mathit{BC}$得中点，求证： $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABD}$。

记 $U=\{1,2,\cdots ,100\}$. 对数列 $\left\{a_n\right\}\left(n\in N^{*}\right)$ 和 $U$ 的子集 $\mathrm{T}$, 若 $T=\varnothing$, 定义 $S_T=0;$ 若

$T=\left\{t_1,t_2,\cdots ,t_k\right\}$, 定 义 $S_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots +a_{t_k}$. 例 如 : $\mathrm{}T=\{1,3,66\}$ 时 ,

$S_T=a_1+a_3+a_{66}.$ 现设 $\left\{a_n\right\}\left(n\in N^{*}\right)$ 是公比为 3 的等比数列, 且当 $T=\{2,4\}$ 时,

$S_T=30$

(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;

(2) 对任意正整数 $k(1\le k\le 100)$, 若 $T\subseteq \{1,2,\cdots ,\mathrm{k}\}$, 求证: $S_T<a_{k+1}$;

(3) 设 $C\subseteq U,D\subseteq U,S_C\ge S_D$, 求证: $S_C+S_{C\cap D}\ge 2S_D$.

已知函数 $f\left(x\right)=a^x+b^x(a>0,b>0,a\ne 1,b\ne 1)$.

（1）设 $a=2,b=\frac{1}{2}$.

①求方程 $f\left(x\right)=2$ 的根;

②若对任意 $x\in R$, 不等式 $f\left(2x\right)\ge m\mathrm{f}\left(x\right)-6$ 恒成立, 求实数 $m$ 的最大值;

（2）若 $0<a<1,b>1$, 函数 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2$ 有且只有 1 个零点, 求 $\mathit{ab}$ 的值。

如图, 在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中, 已知以 $M$ 为圆心的圆

$M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一点 $A(2,4)$

(1) 设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切, 与圆 $M$ 外切, 且圆心 $N$ 在直线 $x=6$ 上, 求圆 $N$ 的标准方程;

(2) 设平行于 $\mathit{OA}$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B,C$ 两点, 且 $\mathit{BC}=\mathit{OA}$, 求直线 $l$ 的方程;

(3) 设点 $T(t,0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$, 使得 $\overrightarrow{\mathit{TA}}+\overrightarrow{\mathit{TP}}=\overrightarrow{\mathit{TQ}}$, 求实数 $t$ 的取值范围。

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱雉 $P-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ ,下部分的形状是正四棱柱 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (如图所示)，并要求正四棱柱的高 $P{O}_1$ 的四倍.

(1)若 $\mathit{AB}=6m\mathrm{，}{\mathrm{PO}}_1=2m$ ,则仓库的容积是多少?

(2)若正四棱柱的侧棱长为 $6\mathrm{m}$ ，则当 $P{O}_1$ 为多少时,仓库的容积最大？

如图，在直三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $D,E$ 分别为 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$ 的中点，点 $F$ 在侧棱 $B_{1}B$ 上, 且 $B_{1}D\perp A_{1}F\mathrm{}\mathrm{，}\mathrm{}{A}_1{C}_1\perp A_1{B}_1\mathrm{。}$

求证:（1）直线 $\mathit{DE}//$ 平面 $A_1{C}_{1}F$；

(2) 平面 $B_1\mathit{DE}\perp$ 平面 $A_1{C}_{1}F$；

$\text{ 在 }△\mathit{ABC}\text{ 中, }\mathit{AC}=6,\cos B=\frac{4}{5},C=\frac{\pi }{4}\text{. }$

(1) 求 $\mathit{AB}$ 的长;

$\text{ (2) 求 }\cos \left(A-\frac{\pi }{6}\right)\text{ 的值 }$；

已知函数 $f\left(x\right)$ =│ x+1│-│ x-2│.

（1）求不等式 $f\left(x\right)$ ≥1的解集；

（2）若不等式 $f\left(x\right)$ ≥ x ²- x+ m的解集非空，求实数 m的取值范围.