高中数学解答题

设函数 $f\left(x\right)=(x+a)\ln x,g\left(x\right)=\frac{x^2}{e^x}$. 已知曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线与直线 $2x-y=0$平行.
（Ⅰ）求 $a$的值；
（Ⅱ）是否存在自然数 $k$，使得方程 $f\left(x\right)=g\left(x\right)$在 $(k,k+1)$内存在唯一的根？如果存在，求出 $k$；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数 $m\left(x\right)=min\left\{f\right(x),g(x\left)\right\}$（ $min\{p,q\}$表示， $p,q$中的较小值），求 $m\left(x\right)$的最大值.

已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.

如图，三棱台DEF-ABC中， $AB=2DE,G,H$ 分别为 $AC,BC$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $BD\parallel$ 平面 $FGH$ ；
（Ⅱ）若 $CF\perp BC,AB\perp BC$ 求证：平面 $BCD\perp$ 平面 $EGH$ .

中，角所对的边分别为.已知 求 和的值.

某中学调查了某班全部 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

（1）从该班随机选 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的 名同学中，有5名男同学 $A_{1,}{A}_2,A_3,A_4,A_5,$ 名女同学 $B_1,B_2,B_3$ 现从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人，求 $A_1$ 被选中且 $B_1$ 未被选中的概率.

设函数 $f\left(x\right)=\ln (x+1)+a(x^2-x)$，其中 $a\in R$.
（Ⅰ）讨论函数 $f\left(x\right)$极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 $\forall x>0,f\left(x\right)\ge 0$成立，求 $a$的取值范围.

平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.
（i）求的值；
（Ⅱ）求面积的最大值.

若 $n$是一个三位正整数，且 $n$的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 $n$为"三位递增数"（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的"三位递增数" ；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 $X$的分布列和数学期望 $EX$.

设数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$.已知 $2S_n=3^n+3$.
（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）若数列 $\left\{b_n\right\}$满足 $a_n{b}_n={\log }_3{a}_n$，求 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$.

如图，在三棱台 $DEF-ABC$ 中， $AB=2DE,G,H$ 分别为 $AC,BC$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $BD//$ 平面 $FGH$ ；
（Ⅱ）若 $CF\perp$ 平面 $ABC$ ， $AB\perp BC,CF=DE$ , $\angle BAC={45}^{°}$ ,求平面 $FGH$ 与平面 $ACFD$ 所成的角（锐角）的大小.

设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.

函数，记为的从小到大的第个极值点。
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求的取值范围。

已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点的直线与相交于两点，与相交于

与同向.

（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若，求直线的斜率.

设数列的前项和为，已知，且，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求。

如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面是边长为2的正三角形， $E,F$ 分别是 $BC,C{C}_1$ 的中点。

（Ⅰ）证明：平面 $AEF\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$ ；
（Ⅱ）若直线 $A_{1}C$ 与平面 $A_{1}AB{B}_1$ 所成的角为 $45°$ ，求三棱锥 $F-AEC$ 的体积。