高中数学解答题

已知函数 $f（x)=a{e}^{2x}+(a﹣2){\mathit{e}}^x﹣x$ .

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$ 有两个零点，求 a的取值范围.

已知椭圆C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）$ ，四点P ₁（1,1），P ₂（0,1），P ₃ $（–1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$ ，P ₄ $（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$ 中恰有三点在椭圆C上.

（1）求 C的方程；

（2）设直线 l不经过 P ₂点且与 C相交于 A， B两点.若直线 P ₂ A与直线 P ₂ B的斜率的和为-1，证明： l过定点.

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ．

（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的零件数，求 $P(X\ge 1)$ 及 $X$ 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x}=\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x}_i=9.97$ ， $s=\sqrt{\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}(\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x}_i^2-16{\bar{x}}^2{)}^2}\approx 0.212$ ，其中 $x_i$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸， $i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,16$ ．

用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\stackrel{̂}{\mu }$ ，用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\stackrel{̂}{\sigma }$ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\stackrel{̂}{\mu }-3\stackrel{̂}{\sigma },\stackrel{̂}{\mu }+3\stackrel{̂}{\sigma })$ 之外的数据，用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$ （精确到0.01）．

附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则 $P(\mu -3\sigma <Z<\mu +3\sigma )=0.9974$ ，

$0.9974^{16}=0.9592$ ， $\sqrt{0.008}\approx 0.09$ ．

如图，在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BAP}=\angle \mathit{CDP}=90^{\circ }$ .

（1）证明：平面 $\mathit{PAB}\perp$平面 $\mathit{PAD}$ ；

（2）若 $\mathit{PA}=\mathit{PD}=\mathit{AB}=\mathit{DC}$ ， $\angle \mathit{APD}=90^{\circ }$ ，求二面角 $A-\mathit{PB}-C$ 的余弦值.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△\mathit{ABC}$ 的面积为 $\frac{a^2}{3\mathit{sin}A}$    

（1）求 $\mathit{sinBsinC}$ ;

（2）若 $6\mathit{cosBcosC}=1$ ， $a=3$ ，求 $△\mathit{ABC}$ 的周长.

[选修4-5：不等式选讲]

已知 $a>0,b>0,a^3+b^3=2$ ，证明：

（1） $(a+b)(a^3+b^3)\ge 4$ ；

（2） $a+b\le 2$ ．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho \mathit{cos}\theta =4$ ．

（1） M为曲线 $C_1$ 上的动点，点 P在线段 OM上，且满足 $\left|\mathit{OM}\right|\cdot \left|\mathit{OP}\right|=16$ ,求点 P的轨迹 $C_2$ 的直角坐标方程；

（2）设点 A的极坐标为 $(2,\frac{\pi }{3})$ ，点 B在曲线 $C_2$ 上，求 $\mathit{\Delta OAB}$ 面积的最大值．

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^3-\mathit{ax}-x\mathit{ln}x,$ 且 $f\left(x\right)\ge 0$ .

（1）求 a；

（2）证明： $f\left(x\right)$ 存在唯一的极大值点 $x_0$ ，且 $e^{-2}<f\left(x_0\right)<2^{-3}$ .

设O为坐标原点，动点M在椭圆 $C：\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 $\overrightarrow{\mathit{NP}}=\sqrt{2}\overrightarrow{\mathit{NM}}$ .

(1) 求点 P的轨迹方程；

(2) 设点 Q在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{\mathit{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathit{PQ}}=1$ .证明：过点 P且垂直于 $\mathit{OQ}$ 的直线 l过 C的左焦点 F.

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中，侧面 $\mathit{PAD}$ 为等比三角形且垂直于底面 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=\frac{1}{2}\mathit{AD},\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{ABC}=90^o,$ $E$ 是 $\mathit{PD}$ 的中点.

（1）证明：直线 $\mathit{CE}//$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

（2）点 M在棱 PC上，且直线 BM与底面 ABCD所成锐角为 $45^o$ ，求二面角 $M-\mathit{AB}-D$ 的余弦值.

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（ ）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

$K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$\mathit{\Delta ABC}$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ,已知 $\mathit{sin}(A+C)=8{\mathit{sin}}^2\frac{B}{2}$ ．

(1)求 $\mathit{cos}B$

(2)若 $a+c=6$ , $\mathit{\Delta ABC}$ 面积为2，求 $b.$

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的左焦点为 $F\mathit{（﹣}c，0）$ ，右顶点为A，点E的坐标为（0，c）， $△\mathit{EFA}$ 的面积为 $\frac{b^2}{2}$ ．

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点Q在线段AE上， $\left|\mathit{FQ}\right|=\frac{3}{2}\mathit{c}$ ，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上， $\mathit{PM}\parallel \mathit{QN}$ ，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．

（i）求直线FP的斜率；

（ii）求椭圆的方程．

设a， $b\in R$ ， $\left|a\right|\le 1$ ．已知函数 $f（x）=x^3﹣6x^2﹣3a（a﹣4）x+b$ ， $g（x）=e^{x}f（x）$ ．

（Ⅰ）求 $f（x）$ 的单调区间；

（Ⅱ）已知函数 $y=g（x）$ 和 $y=e^x$ 的图象在公共点 $（x_0\mathit{ }，{\mathit{y}}_0）$ 处有相同的切线，

（i）求证： $f（x\mathit{）在}x=x_0$ 处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式 $g（x）\le e^x$ 在区间 $[x_0﹣1，x_0+1]$ 上恒成立，求b的取值范围．

已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_n（n\in N^{*}）$ ， $\left\{b_n\right\}$ 是首项为2的等比数列，且公比大于0， $b_2+b_3=12$ ， $b_3=a_4﹣2a_1\mathit{ }$ ， $S_{11}=11b_4$ ．

（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 $\left\{a_{2n}{b}_{2n-1}\right\}$ 的前n项和 $（n\in N^{*}）$ ．