高中数学填空题

记S_n为等差数列{a_n}的前n项和， $a_1\ne 0，a_2=3a_1$，则 $\frac{S_{10}}{S_5}=$___________.

已知 $\vec{a},\vec{b}$为单位向量，且 $\vec{a}\cdot \vec{b}$=0，若 $\vec{c}=2\vec{a}-\sqrt{5}\vec{b}$ ，则 $\mathit{cos}<\vec{a},\vec{c}>=$___________.

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，当每个 ${\lambda }_i(i=1,2,3,4,5,6)$取遍 $\pm 1$时， $\left|{\lambda }_1\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}+{\lambda }_2\stackrel{⃑}{\mathit{BC}}+{\lambda }_3\stackrel{⃑}{\mathit{CD}}+{\lambda }_4\stackrel{⃑}{\mathit{DA}}+{\lambda }_5\stackrel{⃑}{\mathit{AC}}+{\lambda }_6\stackrel{⃑}{\mathit{BD}}\right|$的最小值是________；最大值是_______.

在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$，点 $D$在线段 $\mathit{AC}$上，若 $\angle \mathit{BDC}=45°$，则 $\mathit{BD}=$____； $\mathit{cos}\angle \mathit{ABD}=$________.

在二项式 $(\sqrt{2}+x{)}^9$的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.

已知圆 $C$的圆心坐标是 $(0,m)$，半径长是 $r$.若直线 $2x-y+3=0$与圆相切于点 $A(-2,-1)$，则 $m=$_____， $r=$______.

已知 $a\in R$，函数 $f\left(x\right)=a{x}^3-x$，若存在 $t\in R$，使得 $\left|f\right(t+2)-f(t\left)\right|\le \frac{2}{3}$，则实数 $a$的最大值是____.

已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的左焦点为 $F$，点 $P$在椭圆上且在 $x$轴的上方，若线段 $\mathit{PF}$的中点在以原点 $O$为圆心， $\left|\mathit{OF}\right|$为半径的圆上，则直线 $\mathit{PF}$的斜率是_______.

复数 $z=\frac{1}{1+i}$（为虚数单位），则 $\left|z\right|=$________.

已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 $\sqrt{3}$，那么P到平面ABC的距离为___________．

函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}(2x+\frac{3\pi }{2})-3\mathit{cos}x$的最小值为___________．

记S_n为等比数列{a_n}的前n项和.若 $a_1=1，S_3=\frac{3}{4}$，则S₄=___________．

曲线 $y=3(x^2+x)e^x$在点 $(0,0)$处的切线方程为___________．

中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．

$△\mathit{ABC}$的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.