高中数学试题

若 $\mathit{tan}（\alpha ﹣\frac{\pi }{4}）=\frac{1}{6}$ ．则 $\mathit{tan\alpha }=$ ________．

如图是一个算法流程图：若输入x的值为 $\frac{1}{16}$ ，则输出y的值是________．

某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．

已知复数 $z=（1+i\mathit{）（}1+2i）$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则z的模是________．

已知集合A={1，2}，B={a，a ²+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为________．

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数 $f（x）=–x^2+\mathit{ax}+4，g\left(x\right)=\mathit{│x}+1│+\mathit{│x–}1│$ .

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f（x）\ge g（x）$ 的解集；

（2）若不等式 $f（x）\ge g（x）$ 的解集包含 $\left[–1，1\right]$ ，求 a的取值范围.

[选修4―4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，曲线 C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=3\mathit{cos}\theta ,\\ y=\mathit{sin}\theta ,\end{array}\right.$ （ θ为参数），直线 l的参数方程为

$\left\{\begin{array}{c}x=a+4t,\\ y=1-t,\end{array}\right.（t\mathit{为参数）}$ .

（1）若 $a=-1$ ，求 C与 l的交点坐标；

（2）若 C上的点到 l的距离的最大值为 $\sqrt{17}$ ，求a.

已知函数 $f（x)=a{e}^{2x}+(a﹣2){\mathit{e}}^x﹣x$ .

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$ 有两个零点，求 a的取值范围.

已知椭圆C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）$ ，四点P ₁（1,1），P ₂（0,1），P ₃ $（–1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$ ，P ₄ $（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$ 中恰有三点在椭圆C上.

（1）求 C的方程；

（2）设直线 l不经过 P ₂点且与 C相交于 A， B两点.若直线 P ₂ A与直线 P ₂ B的斜率的和为-1，证明： l过定点.

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ．

（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的零件数，求 $P(X\ge 1)$ 及 $X$ 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x}=\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x}_i=9.97$ ， $s=\sqrt{\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}(\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x}_i^2-16{\bar{x}}^2{)}^2}\approx 0.212$ ，其中 $x_i$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸， $i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,16$ ．

用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\stackrel{̂}{\mu }$ ，用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\stackrel{̂}{\sigma }$ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\stackrel{̂}{\mu }-3\stackrel{̂}{\sigma },\stackrel{̂}{\mu }+3\stackrel{̂}{\sigma })$ 之外的数据，用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$ （精确到0.01）．

附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则 $P(\mu -3\sigma <Z<\mu +3\sigma )=0.9974$ ，

$0.9974^{16}=0.9592$ ， $\sqrt{0.008}\approx 0.09$ ．

如图，在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BAP}=\angle \mathit{CDP}=90^{\circ }$ .

（1）证明：平面 $\mathit{PAB}\perp$平面 $\mathit{PAD}$ ；

（2）若 $\mathit{PA}=\mathit{PD}=\mathit{AB}=\mathit{DC}$ ， $\angle \mathit{APD}=90^{\circ }$ ，求二面角 $A-\mathit{PB}-C$ 的余弦值.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△\mathit{ABC}$ 的面积为 $\frac{a^2}{3\mathit{sin}A}$    

（1）求 $\mathit{sinBsinC}$ ;

（2）若 $6\mathit{cosBcosC}=1$ ， $a=3$ ，求 $△\mathit{ABC}$ 的周长.

如图，圆形纸片的圆心为 $O$，半径为 $5cm$，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点， $△\mathit{DBC}$ ， $△\mathit{ECA}$ ， $△\mathit{FAB}$ 分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起 $△\mathit{DBC}$ ， $△\mathit{ECA}$ ， $△\mathit{FAB}$ ，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当 $△\mathit{ABC}$ 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： $cm{ }^3$）的最大值为_________.

已知双曲线C： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0，b>0）$ 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若 $\angle \mathit{MAN}=60°$ ，则C的离心率为_________ .

设x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+2y\le 1\\ 2x+y\ge -1\\ x-y\le 0\end{array}\right.$ ，则 $z=3x-2y$ 的最小值为_________ .