高中数学试题

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$之外的零件数，求 $P(X\ge 1)$及 $X$的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x}=\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x}_i=9.97$， $s=\sqrt{\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}(\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x}_i^2-16{\bar{x}}^2{)}^2}\approx 0.212$，其中 $x_i$为抽取的第 $i$个零件的尺寸， $i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,16$．

用样本平均数 $\bar{x}$作为 $\mu$的估计值 $\stackrel{̂}{\mu }$，用样本标准差 $s$作为 $\sigma$的估计值 $\stackrel{̂}{\sigma }$，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\stackrel{̂}{\mu }-3\stackrel{̂}{\sigma },\stackrel{̂}{\mu }+3\stackrel{̂}{\sigma })$之外的数据，用剩下的数据估计 $\mu$和 $\sigma$（精确到0.01）．

附：若随机变量 $Z$服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(\mu -3\sigma <Z<\mu +3\sigma )=0.9974$，

$0.9974^{16}=0.9592$， $\sqrt{0.008}\approx 0.09$．

如图，在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BAP}=\angle \mathit{CDP}=90^{\circ }$ .

（1）证明：平面 $\mathit{PAB}\perp$ 平面 $\mathit{PAD}$ ；

（2）若 $\mathit{PA}=\mathit{PD}=\mathit{AB}=\mathit{DC}$ ， $\angle \mathit{APD}=90^{\circ }$ ，求二面角 $A-\mathit{PB}-C$ 的余弦值.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△\mathit{ABC}$的面积为 $\frac{a^2}{3\mathit{sin}A}$   

（1）求 $\mathit{sinBsinC}$;

（2）若 $6\mathit{cosBcosC}=1$， $a=3$，求 $△\mathit{ABC}$的周长.

如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O。 D、 E、 F为圆 O上的点， $△\mathit{DBC}$ ， $△\mathit{ECA}$ ， $△\mathit{FAB}$ 分别是以 BC， CA， AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC， CA， AB为折痕折起 $△\mathit{DBC}$ ， $△\mathit{ECA}$ ， $△\mathit{FAB}$ ，使得 D、 E、 F重合，得到三棱锥。当 $△\mathit{ABC}$ 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm ³）的最大值为       .

已知双曲线C： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0，b>0）$的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若 $\angle \mathit{MAN}=60°$，则C的离心率为       .

设 x， y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+2y\le 1\\ 2x+y\ge -1\\ x-y\le 0\end{array}\right.$ ，则 $z=3x-2y$ 的最小值为      .

已知向量a，b的夹角为60°， $\left|\mathit{a}\right|=2$， $\left|\mathit{b}\right|=1$，则 $|\mathit{a}+2\mathit{b}|=$       .

几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了"解数学题获取软件激活码"的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2 ⁰，接下来的两项是2 ⁰，2 ¹，再接下来的三项是2 ⁰，2 ¹，2 ²， 依此类推 . 求满足如下条件的 & 最小整数 $N：N>100$ 且该数列的前 N 项和为 2 的整数 幂 . 那么该款软件的激活码是（ ）

A．

440

B．

330

C．

220

D．

110

设 $\mathit{xyz}$ 为正数，且 $2^x=3^y=5^z$ ，则（ ）

A．

$2x<3y<5z$

B．

$5z<2x<3y$

C．

$3y<5z<2x$

D．

$3y<2x<5z$

已知 F为抛物线 $C：y^2=4x$ 的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l ₁， l ₂，直线 l ₁与 C交于 A、 B两点，直线 l ₂与 C交于 D、 E两点，则 $\left|\mathit{AB}\right|+\left|\mathit{DE}\right|$ 的最小值为（ ）

A．

16

B．

14

C．

12

D．

10

已知曲线 $C1：y=\mathit{cos\; x}$ ， $C2：y=\mathit{sin}(2x+\frac{2\pi }{3})$ ，则下面结论正确的是（ ）

A．	把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到曲线C 2
B．	把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到曲线C 2
C．	把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到曲线C 2
D．	把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到曲线C 2

下面程序框图是为了求出满足 $3^n-2^n>1000$ 的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入(      )

A．	$A>1000$ 和 $n=n+1$
B．	$A>1000$ 和 $n=n+2$
C．	$A\le 1000$ 和 $n=n+1$
D．	$A\le 1000$ 和 $n=n+2$

某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（  ）

A．

10

B．

12

C．

14

D．

16

$(1+\frac{1}{x^2})(1+x{)}^6$ 展开式中 $x^2$ 的系数为（ ）

A．

15

B．

20

C．

30

D．

35

记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_4+a_5=24$ ， $S_6=48$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为（ ）

A．

1

B．

2

C．

4

D．

8