高中数学试题

设 A， B为曲线 C： y $=\frac{x^2}{4}$ 上两点， A与 B的横坐标之和为4．

（1）求直线 AB的斜率；

（2）设 M为曲线 C上一点， C在 M处的切线与直线 AB平行，且 AM⊥ BM，求直线 AB的方程．

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x}=\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}$ x _i＝9.97， s $=\sqrt{\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}(\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x_i}^2-16{\bar{x}}^2)}\approx$ 0.212， $\sqrt{\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}(i-8.5{)}^2}\approx$ 18.439， $\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}$ （ x _i $-\bar{x}$ ）（ i﹣8.5）＝﹣2.78，其中 x _i为抽取的第 i个零件的尺寸， i＝1，2，…，16．

（1）求（ x _i， i）（ i＝1，2，…，16）的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若| r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ $\bar{x}-$ 3 s， $\bar{x}+$ 3 s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在（ $\bar{x}-$ 3 s， $\bar{x}+$ 3 s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本（ x _i， y _i）（ i＝1，2，…， n）的相关系数 r $=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(y_i-\bar{y}{)}^2}}$ ， $\sqrt{0.008}\approx$ 0.09．

如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中， AB∥ CD，且∠ BAP＝∠ CDP＝90°．

（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；

（2）若 PA＝ PD＝ AB＝ DC，∠ APD＝90°，且四棱锥 P﹣ ABCD的体积为 $\frac{8}{3}$ ，求该四棱锥的侧面积．

记 S _n为等比数列{ a _n}的前 n项和．已知 S ₂＝2， S ₃＝﹣6．

（1）求{ a _n}的通项公式；

（2）求 S _n，并判断 S _{n +1}， S _n， S _{n +2}是否成等差数列．

已知三棱锥 S﹣ ABC的所有顶点都在球 O的球面上， SC是球 O的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB， SA＝ AC， SB＝ BC，三棱锥 S﹣ ABC的体积为9，则球 O的表面积为 　 　．

已知α∈（0， $\frac{\pi }{2}$ ），tanα＝2，则cos（α $-\frac{\pi }{4}$ ）＝      ．

曲线 y＝ x ² $+\frac{1}{x}$ 在点（1，2）处的切线方程为 　 　．

已知向量 $\stackrel{\to }{a}=$ （﹣1，2）， $\stackrel{\to }{b}=$ （ m，1），若向量 $\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}$ 与 $\stackrel{\to }{a}$ 垂直，则 m＝ 　　．

设 A， B是椭圆 C： $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{m}=$ 1长轴的两个端点，若 C上存在点 M满足∠ AMB＝120°，则 m的取值范围是（　　）

A．	（0，1]∪[9，+∞）	B．	（0， $\sqrt{3}$ ]∪[9，+∞）
C．	（0，1]∪[4，+∞）	D．	（0， $\sqrt{3}$ ]∪[4，+∞）

△ ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0， a＝2， c $=\sqrt{2}$ ，则 C＝（　　）

A．

$\frac{\pi }{12}$

B．

$\frac{\pi }{6}$

C．

$\frac{\pi }{4}$

D．

$\frac{\pi }{3}$

如图程序框图是为了求出满足3 ⁿ﹣2 ⁿ＞1000的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（　　）

A．	A＞1000和n＝n+1	B．	A＞1000和n＝n+2
C．	A≤1000和n＝n+1	D．	A≤1000和n＝n+2

已知函数 f（ x）＝ lnx+ ln（2﹣ x），则（　　）

A．	f（x）在（0，2）单调递增
B．	f（x）在（0，2）单调递减
C．	y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．	y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称

函数 y $=\frac{\mathit{sin}2x}{1-\mathit{cosx}}$ 的部分图象大致为（　　）

A．
B．
C．
D．

设 x， y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 3\\ x-y\ge 1\\ y\ge 0\end{array}\right.$ ，则 z＝ x+ y的最大值为（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

如图，在下列四个正方体中， A， B为正方体的两个顶点， M， N， Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面 MNQ不平行的是（　　）

A．		B．
C．		D．