高中数学试题

已知O为坐标原点，F是椭圆 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且 $\mathit{PF}\perp x$ 轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）

A．

$\frac{1}{3}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{2}{3}$

D．

$\frac{3}{4}$

在封闭的直三棱柱 $\mathit{ABC}﹣A_1{B}_1{C}_1$ 内有一个体积为V的球，若 $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ， $A{A}_1=3$ ，则 $V$ 的最大值是（　　）

A．

$4\pi$

B．

$\frac{9\pi }{2}$

C．

$6\pi$

D．

$\frac{32\pi }{3}$

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）

A．

$18+36\sqrt{5}$

B．

$54+18\sqrt{5}$

C．

90

D．

81

在 $△\mathit{ABC}$ 中， $B=\frac{\pi }{4}$ ，BC边上的高等于 $\frac{1}{3}\mathit{BC}$ ，则 $\mathit{sinA}=$ （　　）

A．

$\frac{3}{10}$

B．

$\frac{\sqrt{10}}{10}$

C．

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

D．

$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

执行如图程序框图，如果输入的 $a=4$ ， $b=6$ ，那么输出的 $n=$ （　　）

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

已知 $a=2^{\frac{4}{3}}$ ， $b=3^{\frac{2}{3}}$ ， $c={25}^{\frac{1}{3}}$ ，则（　　）

A．

$\mathit{ b}＜a＜\mathit{c }$

B．

$a＜b＜c$

C．

$b＜c＜a$

D．

$c＜a＜b$

若 $\mathit{tan\theta }=﹣\frac{1}{3}$ ，则 $\mathit{cos}2\theta =$ （　　）

A．

﹣ $\frac{4}{5}$

B．

﹣ $\frac{1}{5}$

C．

$\frac{1}{5}$

D．

$\frac{4}{5}$

小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）

A．

$\frac{8}{15}$

B．

$\frac{1}{8}$

C．

$\frac{1}{15}$

D．

$\frac{1}{30}$

某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为 $15℃$ ，B点表示四月的平均最低气温约为 $5℃$ ，下面叙述不正确的是（　　）

A．	各月的平均最低气温都在 $0℃$ 以上	B．	七月的平均温差比一月的平均温差大
C．	三月和十一月的平均最高气温基本相同	D．	平均最高气温高于 $20℃$ 的月份有5个

已知向量 $\overrightarrow{\mathit{BA}}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$ ， $\overrightarrow{\mathit{BC}}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$ ，则 $\angle \mathit{ABC}=$ （　　）

A．

$30°$

B．

$45°$

C．

$60°$

D．

$120°$

若 $z=4+3i$ ，则 $\frac{\vec{z}}{\left|z\right|}$ =（　　）

A．

1

B．

﹣1

C．

$\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\mathit{i }$

D．

$\frac{4}{5}﹣\frac{3}{5}\mathit{i}$

设集合 $A=\left\{0，2，4，6，8，10\right\}$ ， $B=\left\{4，8\right\}$ ，则 ${\complement }_{A}B=$ （　　）

A．

$\left\{4，8\right\}\mathit{ }$

B．

$\left\{0，2，6\right\}$

C．

$\left\{0，2，6，10\right\}$

D．

$\left\{0，2，4，6，8，10\right\}$

设定义在R上的函数 $f\left(x\right)$ 满足：对于任意的x ₁、x ₂∈R，当 _{$x_1<x_2$} 时，都有 $f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$ ．    

（1）若 $f\left(x\right)=a{x}^3+1$ ，求a的取值范围；    

（2）若 $f\left(x\right)$ 是周期函数，证明： $f\left(x\right)$ 是常值函数；    

（3）设 $f\left(x\right)$ 恒大于零， $g\left(x\right)$ 是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是 $g\left(x\right)$ 的最大值．函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)$ ．证明：" $h\left(x\right)$ 是周期函数"的充要条件是" $f\left(x\right)$ 是常值函数"．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： $\frac{x^2}{4}+y^2=1$  ，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．

（1）若P在第一象限，且|OP|= $\sqrt{2}$ ，求P的坐标；

（2）设P $\left(\frac{8}{5}，\frac{3}{5}\right)$ ，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若 $\left|MA\right|=\left|MP\right|$ ，直线AQ与Γ交于另一点C，且   $\stackrel{\rightharpoonup }{AQ}=2\stackrel{\to }{AC}$ ， $\stackrel{\to }{PQ}=4\stackrel{\to }{PM}$ ，求直线AQ的方程．

根据预测，某地第n（n∈N ^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 $a_n$ 和 _{$b_n$} （单位：辆），其中  $a_n=\{\begin{array}{c}5n^4+15{，}_{}1\le n\le 3\\ -10n+470{，}_{}n\ge 4\end{array}$ ， $b_n=n+5$ ，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．    

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；    

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量 $S_n=-4{\left(n-46\right)}^2+8800$ （单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？