高中物理法拉第电磁感应定律计算题

图1是交流发电机模型示意图．在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线图abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO′转动，由线圈引出的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO′转动的金属圈环相连接，金属圈环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电阻R形成闭合电路．图2是线圈的正视图，导线ab和cd分别用它们的横截面来表示．已知ab长度为L₁，bc长度为L₂，线圈以恒定角速度ω逆时针转动．（共N匝线圈）

（1）线圈平面处于中性面位置时开始计时，推导t时刻整个线圈中的感应电动势e₁表达式；
（2）线圈平面处于与中性面成φ₀夹角位置时开始计时，如图3所示，写出t时刻整个线圈中的感应电动势e₂的表达式；
（3）若线圈电阻为r，求电阻R两端测得的电压，线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热．（其它电阻均不计）

【原创】如图，光滑的足够长的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M、P点和N、Q点间各连接一个额定电压为U、阻值恒为R的灯泡，在两导轨间efhg矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B₀，且磁场区域可以移动。一电阻也为R、质量为m、长度也刚好为l的导体棒ab垂直固定在磁场左边的导轨上，离灯L₁足够远。现让ab从静止开始向右做匀加速直线运动，当棒ab刚进入磁场如果保持拉力不变，进入磁场后ab棒刚好匀速运动，同时两灯恰好正常工作，棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计。

（1）求ab棒刚开始运动时到磁场右边界的距离；
（2）求ab棒刚开始运动时到磁场右边界这个过程中拉力F做的功；
（3）若取走导体棒ab，保持磁场不移动（仍在efhg矩形区域），而是均匀改变磁感应强度，为保证两灯都不会烧坏且有电流通过，试求磁感应强度增大到2B₀的最短时间t_min。

某电子天平原理如图所示，形磁铁的两侧为极，中心为极，两级间的磁感应强度大小均为，磁极的宽度均为的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动（骨架与磁极不接触），随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流可确定重物的质量.已知线圈的匝数为，线圈的电阻为，重力加速度为。问：

（1）线圈向下运动过程中，线圈中感应电流是从端还是端流出？

（2）供电电流是从端还是端流入？求重物质量与电流的关系.

（3）若线圈消耗的最大功率为，该电子天平能称量的最大质量是多少

如图甲所示，电阻不计的光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨间距L="0.5" m，左端连接R="0.5" Ω的电阻，右端连接电阻不计的金属卡环。导轨间MN右侧存在方向垂直导轨平面向下的磁场．磁感应强度的B－t图象如图乙所示。电阻不计质量为m="1" kg的金属棒与质量也为m的物块通过光滑滑轮由绳相连，绳始终处于绷紧状态。PQ、MN到右端卡环距离分别为17.5 m和15 m。t=0时刻由PQ位置静止释放金属棒，金属棒与导轨始终接触良好，滑至导轨右端被卡环卡住不动。（g取10 m/s²）求：

（1）金属棒进入磁场时受到的安培力
（2）在0～6 s时间内电路中产生的焦耳热

如图所示，固定的光滑金属导轨间距为L，导轨电阻不计，上端a、b间接有阻值为R的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，质量为m、电阻为r的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v₀．整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的中心轴线与导轨平行．

（1）求初始时刻通过电阻R的电流I的大小和方向；
（2）当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v，求此时导体棒的加速度大小a；
（3）导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为E_p，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q．

两足够长的平行金属导轨间的距离为L，导轨光滑且电阻不计，导轨所在的平面与水平面夹角为θ．在导轨所在平面内，分布磁感应强度为B、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场．把一个质量为m的导体棒ab放在金属导轨上，在外力作用下保持静止，导体棒与金属导轨垂直、且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻为R₁．完成下列问题：

(1） 如图甲，金属导轨的一端接一个内阻为r的直流电源。撤去外力后导体棒仍能静止．求直流电源电动势；
(2） 如图乙，金属导轨的一端接一个阻值为R₂的定值电阻，撤去外力让导体棒由静止开始下滑．在加速下滑的过程中，当导体棒的速度达到v时，求此时导体棒的加速度；
(3） 求(2）问中导体棒所能达到的最大速度。

如图所示，螺线管横截面积为S，线圈匝数为N，电阻为R₁，管内有水平向左的变化磁场。螺线管与足够长的平行金属导轨MN、PQ相连并固定在同一平面内，与水平面的夹角为q，两导轨间距为L。导轨电阻忽略不计。导轨处于垂直斜面向上、磁感应强度为B₀的匀强磁场中。金属杆ab垂直导轨，杆与导轨接触良好，并可沿导轨无摩擦滑动。已知金属杆ab的质量为m，电阻为R₂，重力加速度为g。忽略螺线管磁场对金属杆ab的影响、忽略空气阻力。

（1）为使ab杆保持静止，求通过ab的电流的大小和方向；
（2）当ab杆保持静止时，求螺线管内磁场的磁感应强度B的变化率；
（3）若螺线管内方向向左的磁场的磁感应强度的变化率DB/Dt＝k（k＞0）。将金属杆ab由静止释放，杆将沿斜面向下运动。求当杆的速度为v时，杆的加速度大小。

电磁感应现象是电磁学中最重大的发现之一，它揭示了电、磁现象之间的本质联系。
电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即，这就是法拉第电磁感应定律。
（1）如图所示，把矩形线框abcd放在磁感应强度为B的匀强磁场里，线框平面跟磁感线垂直。设线框可动部分ab的长度为L，它以速度v向右匀速运动。请根据法拉第电磁感应定律推导出闭合电路的感应电动势E=BLv。

（2）两根足够长的光滑直金属导轨平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L。两导轨间接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直金属杆MN放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。导轨和金属杆的电阻可忽略。让金属杆MN由静止沿导轨开始下滑。求
①当导体棒的速度为v（未达到最大速度）时，通过MN棒的电流大小和方向；
②导体棒运动的最大速度。

如图所示，固定的光滑金属导轨间距为d，导轨电阻不计，上端a、b间接有阻值为R的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中。质量为m、电阻为r的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v₀。整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的中心轴线与导轨平行。
（1）求初始时刻通过电阻R的电流I大小和方向；
（2）当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v，求此时导体棒的加速度大小a；
（3）若导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为E_p，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，整个电路产生的焦耳热Q。

如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，两导轨间距离为L，导轨平面与水平面间的夹角θ，所处的匀强磁场垂直于导轨平面向上，质量为m的金属棒ab垂直于导轨放置，导轨和金属棒接触良好，不计导轨和金属棒ab的电阻，重力加速度为g。若在导轨的M、P两端连接阻值R的电阻，将金属棒ab由静止释放，则在下滑的过程中，金属棒ab沿导轨下滑的稳定速度为v，若在导轨 M、P两端将电阻R改接成电容为C的电容器，仍将金属棒ab由静止释放，金属棒ab下滑时间t，此过程中电容器没有被击穿，求：

（1）匀强磁场的磁感应强度的大小为多少？
（2）金属棒ab下滑ts末的速度？ 

如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ被固定在水平面上，导轨间距 l="0.6" m，两导轨的左端用导线连接电阻R₁及理想电压表，电阻r=2Ω的金属棒垂直 于导轨静止在AB处；右端用导线连接电阻R₂，已知R₁=2Ω，R₂=1Ω，导轨及导线电阻 均不计.在矩形区域CDEF内有竖直向上的磁场，CE="0.2" m，磁感应强度随时间的变化 如图乙所示.开始时电压表有示数，当电压表示数变为零后，对金属棒施加一水平向右 的恒力F，使金属棒刚进入磁场区域时电压表的示数又变为原来的值，金属棒在磁场运 动过程中电压表的示数始终保持不变.求：

（1）t="0.1" s时电压表的读数；
（2）恒力F的大小;
（3）从t=0时刻到金属棒运动出磁场过程中整个电路产生的热量.

如图甲所示，空间存在B=0.5T，方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是处于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨，间距L=0.2m，R是连接在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量为m=0.1kg的导体棒。从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好。图乙是棒的v-t图象，其中OA段是直线，AC是曲线，DE是曲线图象的渐进线，小型电动机在12s末达到额定功率P=4.5W，此后保持功率不变。除R外，其余部分电阻均不计，g=10m/s²，求：

（1）ab在0～12s内的加速度大小；
（2）ab与导轨间的动摩擦因数；
（3）电阻R的阻值；
（4）若t=17s时，导体棒ab达到最大速度，从0～17s内的位移为100m，求12～17s内，R上产生的热量。

如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角θ＝30°，导轨电阻不计。磁感应强度为B=2T的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L=0.5m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨电接触良好，金属棒ab的质量m=1kg、电阻r=1Ω。两金属导轨的上端连接右端电路，灯泡电阻R_L＝4Ω，定值电阻R₁＝2Ω，电阻箱电阻R₂＝12Ω，重力加速度为g="10" m/s²，现闭合开关，将金属棒由静止释放，下滑距离为s₀=50m时速度恰达到最大，试求：

（1）金属棒下滑的最大速度v_m；
（2）金属棒由静止开始下滑2s₀的过程中整个电路产生的电热Q。

变化的磁场可以激发感生电场，电子感应加速器就是利用感生电场使电子加速的设备。它的基本原理如图所示，上、下为两个电磁铁，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室内做圆周运动。电磁铁线圈电流的大小、方向可以变化，在两极间产生一个由中心向外逐渐减弱、而且变化的磁场，这个变化的磁场又在真空室内激发感生电场，其电场线是在同一平面内的一系列同心圆，产生的感生电场使电子加速。图1中上部分为侧视图、下部分为俯视图。已知电子质量为m、电荷量为e，初速度为零，电子圆形轨道的半径为R。穿过电子圆形轨道面积的磁通量Φ随时间t的变化关系如图2所示，在t₀时刻后，电子轨道处的磁感应强度为B₀，电子加速过程中忽略相对论效应。
       

图1

（1）求在t₀时刻后，电子运动的速度大小；

（2）求电子在整个加速过程中运动的圈数；
（3）电子在半径不变的圆形轨道上加速是电子感应加速器关键技术要求。试求电子加速过程中电子轨道处的磁感应强度随时间变化规律。
当磁场分布不均匀时，可认为穿过一定面积的磁通量与面积的比值为平均磁感应强度  。请进一步说明在电子加速过程中，某一确定时刻电子轨道处的磁感应强度与电子轨道内的平均磁感应强度的关系。

在倾角θ＝30°的斜面上，固定一金属框，宽L＝0.5 m，接入电动势E ＝12V、内阻不计的电池和滑动变阻器。垂直框面放有一根质量m＝0.1kg,电阻为r=1.6Ω的金属棒ab，不计它与框架间的摩擦力，不计框架电阻。整个装置放在磁感应强度B＝0.8T，垂直框面向上的匀强磁场中，如图所示，调节滑动变阻器的阻值，当R的阻值为多少时，可使金属棒静止在框架上？（假设阻值R可满足需要）（g="10" m/s²）