初中数学解一元二次方程-因式分解法解答题

小敏与小霞两位同学解方程 $3(x-3)={(x-3)}^2$的过程如下框：

小敏： 两边同除以 $(x-3)$，得 $3=x-3$， 则 $x=6$．

小霞： 移项，得 $3(x-3)-{(x-3)}^2=0$， 提取公因式，得 $(x-3)(3-x-3)=0$． 则 $x-3=0$或 $3-x-3=0$， 解得 $x_1=3$， $x_2=0$．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“ $\surd$”；若错误请在框内打“ $\times$”，并写出你的解答过程．

根据要求，解答下列问题：

①方程 $x^2-2x+1=0$的解为　　；

②方程 $x^2-3x+2=0$的解为　　；

③方程 $x^2-4x+3=0$的解为　　；

$\dots$

（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程 $x^2-9x+8=0$的解为　　；

②关于 $x$的方程　　的解为 $x_1=1$， $x_2=n$．

（3）请用配方法解方程 $x^2-9x+8=0$，以验证猜想结论的正确性．

由多项式乘法： $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+\mathit{ab}$，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： $x^2+(a+b)x+\mathit{ab}=(x+a)(x+b)$．

示例：分解因式： $x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2\times 3=(x+2)(x+3)$．

（1）尝试：分解因式： $x^2+6x+8=(x+$　　 $\left)\right(x+$　　 $)$；

（2）应用：请用上述方法解方程： $x^2-3x-4=0$．

已知：如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+b$与 $x$轴负半轴交于点 $A$，与 $y$轴正半轴交于点 $B$，线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-7x-8=0$的一个根，请解答下列问题：

（1）求点 $B$坐标；

（2）双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$，且 $\mathit{AC}=5\sqrt{5}$，求 $k$的值；

（3）在（2）的条件下，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上， $\mathit{AE}=\sqrt{5}$，直线 $l\perp y$轴，垂足为点 $P(0,7)$，点 $M$在直线 $l$上，坐标平面内是否存在点 $N$，使以 $C$、 $E$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知关于 $x$的一元二次方程： $x^2-2x-k-2=0$有两个不相等的实数根．

（1）求 $k$的取值范围；

（2）给 $k$取一个负整数值，解这个方程．

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 $y\mathit{＝﹣}x+b$与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程 $x^2﹣3x+2＝0$的两个根 $（\mathit{OA}＞\mathit{OC}）$．

（1）求点A，C的坐标；

（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数 $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}(k\ne 0)$的图象的一个分支经过点E，求k的值；

（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解方程： $x^2-2x-3=0$ ．

关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．

（1）计算：．

（2）为何值时，两个代数式，的值相等？

解方程： $2{(x-3)}^2=x^2-9$ ．

关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求的取值范围．

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）写出一个满足条件的 $m$ 的值，并求此时方程的根．

解一元二次方程：3（x﹣2）²=x（x﹣2）．

用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）

已知关于x的方程x²－6x＋m²－3m＝0的一根为2．
（1）求5m²－15m－100的值； 
（2）求方程的另一根．