初中数学一次函数图象与几何变换试题

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=x$与反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象交于点 $A$，将直线 $y=x$沿 $y$轴向上平移 $b$个单位长度，交 $y$轴于点 $B$，交反比例函数图象于点 $C$．若 $\mathit{OA}=2\mathit{BC}$，则 $b$的值为 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

将直线 $y=\frac{3}{2}x-1$ 沿 $x$ 轴向左平移4个单位，则平移后的直线与 $y$ 轴交点的坐标是 $($ 　　 $)$

A．

$(0,5)$

B．

$(0,3)$

C．

$(0,-5)$

D．

$(0,-7)$

将函数 $y=-2x$的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式为 $($　　 $)$

A． $y=-2(x+3)$B． $y=-2(x-3)$C． $y=-2x+3$D． $y=-2x-3$

在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别与函数和的图象相交于，两点．若平移直线，可以使，都在轴的下方，则实数的取值范围是　     　．

在平面直角坐标系中，若将一次函数 $y=2x+m-1$ 的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则 $m$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$-5$

B．

5

C．

$-6$

D．

6

直线 $y=\mathit{kx}+b$是由直线 $y=-2x$平移得到的，且经过点 $P(2,0)$，则 $k+b$的值为　　．

一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象相交于 $A(2,3)$， $B(6,n)$两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）将直线 $\mathit{AB}$沿 $y$轴向下平移8个单位后得到直线 $l$， $l$与两坐标轴分别相交于 $M$， $N$，与反比例函数的图象相交于点 $P$， $Q$，求 $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{MN}}$的值．

如图，一次函数 $y=x+\sqrt{2}$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，把直线 $\mathit{AB}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $30°$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，则线段 $\mathit{AC}$ 长为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{6}+\sqrt{2}$

B．

$3\sqrt{2}$

C．

$2+\sqrt{3}$

D．

$\sqrt{3}+\sqrt{2}$

将直线 $y=-2x$向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为　　．

如图，直线 $y=-x+5$与双曲线 $y=\frac{k}{x}(x>0)$相交于 $A$， $B$两点，与 $x$轴相交于 $C$点， $\mathit{\Delta BOC}$的面积是 $\frac{5}{2}$．若将直线 $y=-x+5$向下平移1个单位，则所得直线与双曲线 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的交点有 $($　　 $)$

A．0个B．1个

C．2个D．0个，或1个，或2个

函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示．

					0	1	2	3
					0

（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点，的坐标和函数的对称轴．

（2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离．

（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点，和，在该函数图象上，且，比较，的大小．

如图，把函数 $y=x$的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数 $y=2x$的图象；也可以把函数 $y=x$的图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数 $y=2x$的图象．

类似地，我们可以认识其他函数．

（1）把函数 $y=\frac{1}{x}$的图象上各点的纵坐标变为原来的　　倍，横坐标不变，得到函数 $y=\frac{6}{x}$的图象；也可以把函数 $y=\frac{1}{x}$的图象上各点的横坐标变为原来的　　倍，纵坐标不变，得到函数 $y=\frac{6}{x}$的图象．

（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移 $\frac{1}{2}$个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．

（Ⅰ）函数 $y=x^2$的图象上所有的点经过④ $\to$② $\to$①，得到函数　　的图象；

（Ⅱ）为了得到函数 $y=-\frac{1}{4}{(x-1)}^2-2$的图象，可以把函数 $y=-x^2$的图象上所有的点　　．

$A$．① $\to$⑤ $\to$③ $B$．① $\to$⑥ $\to$③ $C$．① $\to$② $\to$⑥ $D$．① $\to$③ $\to$⑥

（3）函数 $y=\frac{1}{x}$的图象可以经过怎样的变化得到函数 $y=-\frac{2x+1}{2x+4}$的图象？（写出一种即可）

如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$ 在第一象限，且 $\mathit{BC}//x$ 轴，直线 $y=2x+1$ 沿 $x$ 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 $\mathit{ABCD}$ 截得的线段长为 $a$ ，直线在 $x$ 轴上平移的距离为 $b$ ， $a$ 、 $b$ 间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 $\mathit{ABCD}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{5}$

B．

$2\sqrt{5}$

C．

8

D．

10

学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 $P$ 绕着某定点 $A$ 顺时针旋转一定的角度 $\alpha$ ，能得到一个新的点 $P\text{'}$ ，经过进一步探究，小明发现，当上述点 $P$ 在某函数图象上运动时，点 $P\text{'}$ 也随之运动，并且点 $P\text{'}$ 的运动轨迹能形成一个新的图形．

试根据下列各题中所给的定点 $A$ 的坐标、角度 $\alpha$ 的大小来解决相关问题．

【初步感知】

如图1，设 $A(1,1)$ ， $\alpha =90°$ ，点 $P$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点 $P_1(-1,1)$ ．

（1）点 $P_1$ 旋转后，得到的点 $P_1\text{'}$ 的坐标为 　 $(1,3)$ 　；

（2）若点 $P\text{'}$ 的运动轨迹经过点 $P_2\text{'}(2,1)$ ，求原一次函数的表达式．

【深入感悟】

如图2，设 $A(0,0)$ ， $\alpha =45°$ ，点 $P$ 是反比例函数 $y=-\frac{1}{x}(x<0)$ 的图象上的动点，过点 $P\text{'}$ 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 $M$ ，求 $\mathit{\Delta OMP}\text{'}$ 的面积．

【灵活运用】

如图3，设 $A(1,-\sqrt{3})$ ， $\alpha =60°$ ，点 $P$ 是二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+2\sqrt{3}x+7$ 图象上的动点，已知点 $B(2,0)$ 、 $C(3,0)$ ，试探究 $\mathit{\Delta BCP}\text{'}$ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

如图，直线 $y=-\frac{3}{2}x+6$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $A$，点 $P$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $Q$是线段 $\mathit{OA}$上一动点（不与点 $O$、 $A$重合）．

（1）请直接写出点 $A$、点 $B$、点 $P$的坐标；

（2）连接 $\mathit{PQ}$，在第一象限内将 $\mathit{\Delta OPQ}$沿 $\mathit{PQ}$翻折得到 $\mathit{\Delta EPQ}$，点 $O$的对应点为点 $E$．若 $\angle \mathit{OQE}=90°$，求线段 $\mathit{AQ}$的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $y=a{x}^2-2a^{2}x+a^3+a+1(a\ne 0)$的顶点为点 $C$．

①若点 $C$在 $\mathit{\Delta PQE}$内部（不包括边），求 $a$的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点 $C$，使 $|\mathit{CQ}-\mathit{CE}|$最大？若存在，请直接写出点 $C$的坐标；若不存在，请说明理由．