初中数学反比例函数系数k的几何意义解答题

背景：点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 的图象上， $\mathit{AB}\perp x$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{AC}\perp y$ 轴于点 $C$ ，分别在射线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BO}$ 上取点 $D$ ， $E$ ，使得四边形 $\mathit{ABED}$ 为正方形．如图1，点 $A$ 在第一象限内，当 $\mathit{AC}=4$ 时，小李测得 $\mathit{CD}=3$ ．

探究：通过改变点 $A$ 的位置，小李发现点 $D$ ， $A$ 的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求 $k$ 的值．

（2）设点 $A$ ， $D$ 的横坐标分别为 $x$ ， $z$ ，将 $z$ 关于 $x$ 的函数称为" $Z$ 函数"．如图2，小李画出了 $x>0$ 时" $Z$ 函数"的图象．

①求这个" $Z$ 函数"的表达式．

②补画 $x<0$ 时" $Z$ 函数"的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

③过点 $(3,2)$ 作一直线，与这个" $Z$ 函数"图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是"数形结合"思想的典型应用．

【理解】

（1）如图1， $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足分别为 $C$ 、 $D$ ， $E$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{CE}$ ．已知 $\mathit{AD}=a$ ， $\mathit{BD}=b(0<a<b)$ ．

①分别求线段 $\mathit{CE}$ 、 $\mathit{CD}$ 的长（用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示）；

②比较大小： $\mathit{CE}$ 　 　 $\mathit{CD}$ （填" $<$ "、" $=$ "或" $>$ " $)$ ，并用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示该大小关系．

【应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 的图象上，横坐标分别为 $m$ 、 $n$ ．设 $p=m+n$ ， $q=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ ，记 $l=\frac{1}{4}\mathit{pq}$ ．

①当 $m=1$ ， $n=2$ 时， $l=$ 　　；当 $m=3$ ， $n=3$ 时， $l=$ 　　；

②通过归纳猜想，可得 $l$ 的最小值是 　　．请根据图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．