初中数学反比例函数的应用试题

电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 $R_{1}$ ， $R_{1}$ 与踏板上人的质量 $m$ 之间的函数关系式为 $R_{1} = km + b$ （其中 $k$ ， $b$ 为常数， $0 ⩽ m ⩽ 120)$ ，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻 $R_{0}$ 的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为 $U_{0}$ ，该读数可以换算为人的质量 $m$ ，

温馨提示：①导体两端的电压 $U$ ，导体的电阻 $R$ ，通过导体的电流 $I$ ，满足关系式 $I = \frac{U}{R}$ ；

②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压

（1）求 $k$ ， $b$ 的值；

（2）求 $R_{1}$ 关于 $U_{0}$ 的函数解析式；

（3）用含 $U_{0}$ 的代数式表示 $m$ ；

（4）若电压表量程为 $0 ~ 6$ 伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．

来源：2021年浙江省台州市中考数学试卷

题型：未知
难度：未知

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数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．

猜想发现

由 $5 + 5 = 2 \sqrt{5 \times 5} = 10$ ； $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 2 \sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$ ； $0.4 + 0.4 = 2 \sqrt{0.4 \times 0.4} = 0.8$ ； $\frac{1}{5} + 5 > 2 \sqrt{\frac{1}{5} \times 5} = 2$ ； $0.2 + 3.2 > 2 \sqrt{0.2 \times 3.2} = 1.6$ ； $\frac{1}{2} + \frac{1}{8} > 2 \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$ ．

猜想：如果 $a > 0$ ， $b > 0$ ，那么存在 $a + b ⩾ 2 \sqrt{ab}$ （当且仅当 $a = b$ 时等号成立）．

猜想证明

$∵ {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} ⩾ 0$ ，

$∴$ ①当且仅当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$ ，即 $a = b$ 时， $a - 2 \sqrt{ab} + b = 0$ ， $∴ a + b = 2 \sqrt{ab}$ ；

②当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq 0$ ，即 $a \neq b$ 时， $a - 2 \sqrt{ab} + b > 0$ ， $∴ a + b > 2 \sqrt{ab}$ ．

综合上述可得：若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $a + b ⩾ 2 \sqrt{ab}$ 成立（当且仅当 $a = b$ 时等号成立）．

猜想运用

对于函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ ，当 $x$ 取何值时，函数 $y$ 的值最小？最小值是多少？

变式探究

对于函数 $y = \frac{1}{x - 3} + x (x > 3)$ ，当 $x$ 取何值时，函数 $y$ 的值最小？最小值是多少？

拓展应用

疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为 $S$ （米 $^{2})$ ．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 $S$ 最大？最大面积是多少？