初中数学二次函数的最值解答题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于点 $A$和 $C(1,0)$，交 $y$轴于点 $B(0,3)$，抛物线的对称轴交 $x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $F$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段 $\mathit{OE}$绕着点 $O$沿顺时针方向旋转得到线段 $O{E}^{\text{'}}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，连接 $\mathit{AE}\text{'}$， $\mathit{BE}\text{'}$，求 $\mathit{BE}\text{'}+\frac{1}{3}\mathit{AE}\text{'}$的最小值；

（3） $M$为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 $N$，使得以 $A$， $B$， $M$， $N$为顶点的四边形为矩形？若存在，请写出点 $N$的横坐标；若不存在，请说明理由．

学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 $P$ 绕着某定点 $A$ 顺时针旋转一定的角度 $\alpha$ ，能得到一个新的点 $P\text{'}$ ，经过进一步探究，小明发现，当上述点 $P$ 在某函数图象上运动时，点 $P\text{'}$ 也随之运动，并且点 $P\text{'}$ 的运动轨迹能形成一个新的图形．

试根据下列各题中所给的定点 $A$ 的坐标、角度 $\alpha$ 的大小来解决相关问题．

【初步感知】

如图1，设 $A(1,1)$ ， $\alpha =90°$ ，点 $P$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点 $P_1(-1,1)$ ．

（1）点 $P_1$ 旋转后，得到的点 $P_1\text{'}$ 的坐标为 　 $(1,3)$ 　；

（2）若点 $P\text{'}$ 的运动轨迹经过点 $P_2\text{'}(2,1)$ ，求原一次函数的表达式．

【深入感悟】

如图2，设 $A(0,0)$ ， $\alpha =45°$ ，点 $P$ 是反比例函数 $y=-\frac{1}{x}(x<0)$ 的图象上的动点，过点 $P\text{'}$ 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 $M$ ，求 $\mathit{\Delta OMP}\text{'}$ 的面积．

【灵活运用】

如图3，设 $A(1,-\sqrt{3})$ ， $\alpha =60°$ ，点 $P$ 是二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+2\sqrt{3}x+7$ 图象上的动点，已知点 $B(2,0)$ 、 $C(3,0)$ ，试探究 $\mathit{\Delta BCP}\text{'}$ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形，点 $D$在 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上，点 $E$在弦 $\mathit{AB}$上 $(E$不与 $A$重合），且四边形 $\mathit{BDCE}$为菱形．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{CE}$；

（2）求证： $B{C}^2-A{C}^2=\mathit{AB}·\mathit{AC}$；

（3）已知 $\odot O$的半径为3．

①若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=\frac{5}{3}$，求 $\mathit{BC}$的长；

②当 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}$为何值时， $\mathit{AB}·\mathit{AC}$的值最大？

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $G$在边 $\mathit{BC}$上（不与点 $B$， $C$重合），连接 $\mathit{AG}$，作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AG}$于点 $E$， $\mathit{BF}\perp \mathit{AG}$于点 $F$，设 $\frac{\mathit{BG}}{\mathit{BC}}=k$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，设 $\angle \mathit{EDF}=\alpha$， $\angle \mathit{EBF}=\beta$．求证： $\tan \alpha =k\tan \beta$．

（3）设线段 $\mathit{AG}$与对角线 $\mathit{BD}$交于点 $H$， $\mathit{\Delta AHD}$和四边形 $\mathit{CDHG}$的面积分别为 $S_1$和 $S_2$，求 $\frac{S_2}{S_1}$的最大值．

如图（1）放置两个全等的含有 $30°$角的直角三角板 $\mathit{ABC}$与 $\mathit{DEF}(\angle B=\angle E=30°)$，若将三角板 $\mathit{ABC}$向右以每秒1个单位长度的速度移动（点 $C$与点 $E$重合时移动终止），移动过程中始终保持点 $B$、 $F$、 $C$、 $E$在同一条直线上，如图（2）， $\mathit{AB}$与 $\mathit{DF}$、 $\mathit{DE}$分别交于点 $P$、 $M$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{DE}$交于点 $Q$，其中 $\mathit{AC}=\mathit{DF}=\sqrt{3}$，设三角板 $\mathit{ABC}$移动时间为 $x$秒．

（1）在移动过程中，试用含 $x$的代数式表示 $\mathit{\Delta AMQ}$的面积；

（2）计算 $x$等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $6\mathit{cm}$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 $45°$ 的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $\mathit{ABCD}$ 时，求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形．

（3）设平移的距离为 $\mathit{xcm}(0<x⩽6+6\sqrt{2})$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $\mathit{sc}{m}^2$ ．求 $s$ 与 $x$ 的函数关系式，并求 $s$ 的最大值．

已知抛物线顶点，经过点，且与直线交于，两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点，，，满足，求的值；

（3）在，之间的抛物线弧上是否存在点满足？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．

（坐标平面内两点，，，之间的距离

如图1，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形，点 $A$的坐标为 $(3,0)$，点 $C$的坐标为 $(0,6)$，点 $P$从点 $O$出发，沿 $\mathit{OA}$以每秒1个单位长度的速度向点 $A$运动，同时点 $Q$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AB}$以每秒2个单位长度的速度向点 $B$运动，当点 $P$与点 $A$重合时运动停止．设运动时间为 $t$秒．

（1）当 $t=2$时，线段 $\mathit{PQ}$的中点坐标为　　；

（2）当 $\mathit{\Delta CBQ}$与 $\mathit{\Delta PAQ}$相似时，求 $t$的值；

（3）当 $t=1$时，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $P$， $Q$两点，与 $y$轴交于点 $M$，抛物线的顶点为 $K$，如图2所示，问该抛物线上是否存在点 $D$，使 $\angle \mathit{MQD}=\frac{1}{2}\angle \mathit{MKQ}$？若存在，求出所有满足条件的 $D$的坐标；若不存在，说明理由．

如图1，抛物线 $C_1:y=x^2+\mathit{ax}$与 $C_2:y=-x^2+\mathit{bx}$相交于点 $O$、 $C$， $C_1$与 $C_2$分别交 $x$轴于点 $B$、 $A$，且 $B$为线段 $\mathit{AO}$的中点．

（1）求 $\frac{a}{b}$的值；

（2）若 $\mathit{OC}\perp \mathit{AC}$，求 $\mathit{\Delta OAC}$的面积；

（3）抛物线 $C_2$的对称轴为 $l$，顶点为 $M$，在（2）的条件下：

①点 $P$为抛物线 $C_2$对称轴 $l$上一动点，当 $\mathit{\Delta PAC}$的周长最小时，求点 $P$的坐标；

②如图2，点 $E$在抛物线 $C_2$上点 $O$与点 $M$之间运动，四边形 $\mathit{OBCE}$的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知直线 $l_1:y=-2x+10$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B$，二次函数的图象过 $A$， $B$两点，交 $x$轴于另一点 $C$， $\mathit{BC}=4$，且对于该二次函数图象上的任意两点 $P_1(x_1$， $y_1)$， $P_2(x_2$， $y_2)$，当 $x_1>x_2⩾5$时，总有 $y_1>y_2$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线 $l_2:y=\mathit{mx}+n(n\ne 10)$，求证：当 $m=-2$时， $l_2//l_1$；

（3） $E$为线段 $\mathit{BC}$上不与端点重合的点，直线 $l_3:y=-2x+q$过点 $C$且交直线 $\mathit{AE}$于点 $F$，求 $\mathit{\Delta ABE}$与 $\mathit{\Delta CEF}$面积之和的最小值．

已知抛物线经过点、，与轴交于点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；

（3）如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为，为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为．

（1）求抛物线解析式及点坐标；

（2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积；

（3）如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

已知抛物线 G： y＝ mx ²﹣2 mx﹣3有最低点．

（1）求二次函数 y＝ mx ²﹣2 mx﹣3的最小值（用含 m的式子表示）；

（2）将抛物线 G向右平移 m个单位得到抛物线 G ₁．经过探究发现，随着 m的变化，抛物线 G ₁顶点的纵坐标 y与横坐标 x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；

（3）记（2）所求的函数为 H，抛物线 G与函数 H的图象交于点 P，结合图象，求点 P的纵坐标的取值范围．

如图①，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$两点，且与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$轴，并沿 $x$轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$、 $Q$两点（点 $P$在点 $Q$的左侧），连接 $\mathit{PQ}$，在线段 $\mathit{PQ}$上方抛物线上有一动点 $D$，连接 $\mathit{DP}$、 $\mathit{DQ}$．

（Ⅰ）若点 $P$的横坐标为 $-\frac{1}{2}$，求 $\mathit{\Delta DPQ}$面积的最大值，并求此时点 $D$的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $\mathit{\Delta DPQ}$面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的图象关于 $y$ 轴对称，它们与直线 $x=t(t>0)$ 分别相交于点 $P$ ， $Q$ ．

（1）如图，函数 $F_1$ 为 $y=x+1$ ，当 $t=2$ 时， $\mathit{PQ}$ 的长为 　 　；

（2）函数 $F_1$ 为 $y=\frac{3}{x}$ ，当 $\mathit{PQ}=6$ 时， $t$ 的值为 　　；

（3）函数 $F_1$ 为 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ ，

①当 $t=\frac{\sqrt{b}}{b}$ 时，求 $\mathit{\Delta OPQ}$ 的面积；

②若 $c>0$ ，函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的图象与 $x$ 轴正半轴分别交于点 $A(5,0)$ ， $B(1,0)$ ，当 $c⩽x⩽c+1$ 时，设函数 $F_1$ 的最大值和函数 $F_2$ 的最小值的差为 $h$ ，求 $h$ 关于 $c$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $c$ 的取值范围．