初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线的“不动点”的坐标；

②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．

在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线经过点和点，顶点为，点在其对称轴上且位于点下方，将线段绕点按顺时针方向旋转，点落在抛物线上的点处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点移到原点的位置，这时点落在点的位置，如果点在轴上，且以、、、为顶点的四边形面积为8，求点的坐标．

已知在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为．

（1）求这条抛物线的表达式和点的坐标；

（2）点在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为，联结，用含的代数式表示的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点在轴上．原抛物线上一点平移后的对应点为点，如果，求点的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5(a\ne 0)$ 经过点 $A(4,-5)$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=5\mathit{OB}$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{DA}$ ，求四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积；

（3）如果点 $E$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\angle \mathit{BEO}=\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $E$ 的坐标．

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，关于原点对称的抛物线为．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点在抛物线上，且位于第一象限，过点作轴，垂足为．若与相似，求符合条件的点的坐标．

在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接、．以点为位似中心，画△，使它与位似，且相似比为2，、、分别是点、、的对应点．试判定是否存在满足条件的点、在抛物线上？若存在，求点、的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线与轴相交于和两点，并与轴相交于点．抛物线与关于坐标原点对称，点、在上的对应点分别为、

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在抛物线上是否存在点，使得△的面积等于△的面积？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

在同一直角坐标系中，抛物线与抛物线关于轴对称，与轴交于、两点，其中点在点的左侧．

（1）求抛物线，的函数表达式；

（2）求、两点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出、两点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线与轴交于、两点．与轴交于点．且，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）连接、，在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过点 $M(1,3)$ 和 $N(3,5)$

（1）试判断该抛物线与 $x$ 轴交点的情况；

（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 $A(-2,0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $B$ ，同时满足以 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．

如图所示，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，且 $\mathit{\Delta AOB}$ 是等腰直角三角形， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，点 $A(2,1)$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）求经过 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 三点的抛物线的函数表达式；

（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点 $P$ ，使四边形 $\mathit{ABOP}$ 的面积最大？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线．

（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线，直接写出的表达式；

（3）若（2）中抛物线的顶点到轴的距离为2，求的值．

已知，是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是　　．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为　　．

一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点．

（1）求，，的值；

（2）过点，且垂直于轴的直线与二次函数的图象相交于，两点，点为坐标原点，记，求关于的函数解析式，并求的最小值．