初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $\mathit{AB}$相交于 $A$， $B$两点，其中 $A(-3,-4)$， $B(0,-1)$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{AB}$下方抛物线上的任意一点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，求 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0)$，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 $C$，点 $D$为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $E$，使以点 $B$， $C$， $D$， $E$为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数的图象过点 $O(0,0)$， $A(8,4)$，与 $x$轴交于另一点 $B$，且对称轴是直线 $x=3$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若 $M$是 $\mathit{OB}$上的一点，作 $\mathit{MN}//\mathit{AB}$交 $\mathit{OA}$于 $N$，当 $\mathit{\Delta ANM}$面积最大时，求 $M$的坐标；

（3） $P$是 $x$轴上的点，过 $P$作 $\mathit{PQ}\perp x$轴与抛物线交于 $Q$．过 $A$作 $\mathit{AC}\perp x$轴于 $C$，当以 $O$， $P$， $Q$为顶点的三角形与以 $O$， $A$， $C$为顶点的三角形相似时，求 $P$点的坐标．

如图，抛物线过点 $A(0,1)$和 $C$，顶点为 $D$，直线 $\mathit{AC}$与抛物线的对称轴 $\mathit{BD}$的交点为 $B(\sqrt{3}$， $0)$，平行于 $y$轴的直线 $\mathit{EF}$与抛物线交于点 $E$，与直线 $\mathit{AC}$交于点 $F$，点 $F$的横坐标为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$，四边形 $\mathit{BDEF}$为平行四边形．

（1）求点 $F$的坐标及抛物线的解析式；

（2）若点 $P$为抛物线上的动点，且在直线 $\mathit{AC}$上方，当 $\mathit{\Delta PAB}$面积最大时，求点 $P$的坐标及 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上取一点 $Q$，同时在抛物线上取一点 $R$，使以 $\mathit{AC}$为一边且以 $A$， $C$， $Q$， $R$为顶点的四边形为平行四边形，求点 $Q$和点 $R$的坐标．

在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如 $(-3,5)$与 $(5,-3)$是一对“互换点”．

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2） $M$、 $N$是一对“互换点”，若点 $M$的坐标为 $(m,n)$，求直线 $\mathit{MN}$的表达式（用含 $m$、 $n$的代数式表示）；

（3）在抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象上有一对“互换点” $A$、 $B$，其中点 $A$在反比例函数 $y=-\frac{2}{x}$的图象上，直线 $\mathit{AB}$经过点 $P(\frac{1}{2}$， $\frac{1}{2})$，求此抛物线的表达式．

下表中 $y$与 $x$的数据满足我们初中学过的某种函数关系．其函数表达式为　 　．

$x$	$\dots$	$-1$	0	1	3	$\dots$
$y$	$\dots$	0	3	4	0	$\dots$

已知抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{20}{x}^2+\mathit{bx}+5$．

（1）当自变量 $x⩾2$时，函数值 $y$随 $x$的增大而减少，求 $b$的取值范围；

（2）如图，若抛物线的图象经过点 $A(2,5)$，与 $x$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴与 $x$轴交于 $B$．

①求抛物线的解析式；

②在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{ABC}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a>0)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $(A$在 $B$左侧，且 $\mathit{OA}<\mathit{OB})$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求 $C$点坐标，并判断 $b$的正负性；

（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $D$，已知 $\mathit{DC}:\mathit{CA}=1:2$，直线 $\mathit{BD}$与 $y$轴交于点 $E$，连接 $\mathit{BC}$．

①若 $\mathit{\Delta BCE}$的面积为8，求二次函数的解析式；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$为锐角三角形，请直接写出 $\mathit{OA}$的取值范围．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{8}{5}x+c$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $A(2,0)$， $C(0,-4)$，直线 $l:y=-\frac{1}{2}x-4$与 $x$轴交于点 $D$，点 $P$是抛物线 $y=a{x}^2+\frac{8}{5}x+c$上的一动点，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp x$轴，垂足为 $E$，交直线 $l$于点 $F$．

（1）试求该抛物线表达式；

（2）如图（1），当点 $P$在第三象限，四边形 $\mathit{PCOF}$是平行四边形，求 $P$点的坐标；

（3）如图（2），过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp y$轴，垂足为 $H$，连接 $\mathit{AC}$．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}$是直角三角形；

②试问当 $P$点横坐标为何值时，使得以点 $P$、 $C$、 $H$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似？

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $(3,12)$和 $(-2,-3)$，与两坐标轴的交点分别为 $A$， $B$， $C$，它的对称轴为直线 $l$．

（1）求该抛物线的表达式；

（2） $P$是该抛物线上的点，过点 $P$作 $l$的垂线，垂足为 $D$， $E$是 $l$上的点．要使以 $P$、 $D$、 $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$全等，求满足条件的点 $P$，点 $E$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

在"探索函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 与图象的关系"活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点： $A(0,2)$ ， $B(1,0)$ ， $C(3,1)$ ， $D(2,3)$ ．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 $a$ 的值最大为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{2}$

B．

$\frac{3}{2}$

C．

$\frac{5}{6}$

D．

$\frac{1}{2}$

已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$的顶点为 $A$．点 $B$的坐标为 $(3,5)$．

（1）求抛物线过点 $B$时顶点 $A$的坐标；

（2）点 $A$的坐标记为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$的函数表达式；

（3）已知 $C$点的坐标为 $(0,2)$，当 $m$取何值时，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$与线段 $\mathit{BC}$只有一个交点．

如图，抛物线 $y=-x^2+2x+c$与 $x$轴正半轴， $y$轴正半轴分别交于点 $A$， $B$，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$，点 $G$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$的坐标；

（2）点 $M$， $N$为抛物线上两点（点 $M$在点 $N$的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点 $Q$为抛物线上点 $M$， $N$之间（含点 $M$， $N)$的一个动点，求点 $Q$的纵坐标 $y_Q$的取值范围．

已知函数 $y_1=a{x}^2+\mathit{bx}$， $y_2=\mathit{ax}+b(\mathit{ab}\ne 0)$．在同一平面直角坐标系中．

（1）若函数 $y_1$的图象过点 $(-1,0)$，函数 $y_2$的图象过点 $(1,2)$，求 $a$， $b$的值．

（2）若函数 $y_2$的图象经过 $y_1$的顶点．

①求证： $2a+b=0$；

②当 $1<x<\frac{3}{2}$时，比较 $y_1$， $y_2$的大小．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与坐标轴交于 $A$、 $B$、 $C$三点，其中点 $A$的坐标为 $(0,8)$，点 $B$的坐标为 $(-4,0)$．

（1）求该二次函数的表达式及点 $C$的坐标；

（2）点 $D$的坐标为 $(0,4)$，点 $F$为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{CF}$，以 $\mathit{CD}$、 $\mathit{CF}$为邻边作平行四边形 $\mathit{CDEF}$，设平行四边形 $\mathit{CDEF}$的面积为 $S$．

①求 $S$的最大值；

②在点 $F$的运动过程中，当点 $E$落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 $S$的值．