初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{(x-m)}^2+4$图象的顶点为 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，异于顶点 $A$的点 $C(1,n)$在该函数图象上．

（1）当 $m=5$时，求 $n$的值．

（2）当 $n=2$时，若点 $A$在第一象限内，结合图象，求当 $y⩾2$时，自变量 $x$的取值范围．

（3）作直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴相交于点 $D$．当点 $B$在 $x$轴上方，且在线段 $\mathit{OD}$上时，求 $m$的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+1$与 $x$轴仅有一个公共点 $A$，经过点 $A$的直线交该抛物线于点 $B$，交 $y$轴于点 $C$，且点 $C$是线段 $\mathit{AB}$的中点．

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；

（2）求直线 $\mathit{AB}$对应的函数解析式．

定义：如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $P$在该抛物线上 $(P$点与 $A$、 $B$两点不重合），如果 $\mathit{\Delta ABP}$的三边满足 $A{P}^2+B{P}^2=A{B}^2$，则称点 $P$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的勾股点．

（1）直接写出抛物线 $y=-x^2+1$的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $P(1,\sqrt{3})$是抛物线 $C$的勾股点，求抛物线 $C$的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$在抛物线 $C$上，求满足条件 $S_{\mathit{\Delta ABQ}}=S_{\mathit{\Delta ABP}}$的 $Q$点（异于点 $P)$的坐标．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$，自变量 $x$与函数 $y$的对应值如下表：

$x$	$\dots$	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	0	$\dots$
$y$	$\dots$	4	0	$-2$	$-2$	0	4	$\dots$

下列说法正确的是 $($　　 $)$

A．抛物线的开口向下

B．当 $x>-3$时， $y$随 $x$的增大而增大

C．二次函数的最小值是 $-2$

D．抛物线的对称轴是直线 $x=-\frac{5}{2}$

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$与 $y$轴交于点 $C$，与x轴交于 $A，B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），且 $A$点坐标为 $(-\sqrt{2},0)$，直线 $\mathit{BC}$的解析式为 $y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x+2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$，交抛物线于点D，点E为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）将抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$向左平移 $\sqrt{2}$个单位，已知点 $M$为抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $\mathit{BECD}$的面积最大时，是否存在以 $A，E，M，N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$分别在 $x$轴、 $y$轴上，点 $B$坐标为 $(4$， $t\left)\right(t>0)$，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象经过点 $B$，顶点为点 $D$．

（1）当 $t=12$时，顶点 $D$到 $x$轴的距离等于　     　；

（2）点 $E$是二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象与 $x$轴的一个公共点（点 $E$与点 $O$不重合），求 $\mathit{OE}·\mathit{EA}$的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形 $\mathit{OABC}$的对角线 $\mathit{OB}$、 $\mathit{AC}$交于点 $F$，直线 $l$平行于 $x$轴，交二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象于点 $M$、 $N$，连接 $\mathit{DM}$、 $\mathit{DN}$，当 $\mathit{\Delta DMN}\cong \mathit{\Delta FOC}$时，求 $t$的值．

如图，抛物线 $y=x^2-\mathit{mx}-3(m>0)$交 $y$轴于点 $C$， $\mathit{CA}\perp y$轴，交抛物线于点 $A$，点 $B$在抛物线上，且在第一象限内， $\mathit{BE}\perp y$轴，交 $y$轴于点 $E$，交 $\mathit{AO}$的延长线于点 $D$， $\mathit{BE}=2\mathit{AC}$．

（1）用含 $m$的代数式表示 $\mathit{BE}$的长．

（2）当 $m=\sqrt{3}$时，判断点 $D$是否落在抛物线上，并说明理由．

（3）若 $\mathit{AG}//y$轴，交 $\mathit{OB}$于点 $F$，交 $\mathit{BD}$于点 $G$．

①若 $\mathit{\Delta DOE}$与 $\mathit{\Delta BGF}$的面积相等，求 $m$的值．

②连接 $\mathit{AE}$，交 $\mathit{OB}$于点 $M$，若 $\mathit{\Delta AMF}$与 $\mathit{\Delta BGF}$的面积相等，则 $m$的值是　　．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$的图象经过点 $A(3,0)$， $B(4,1)$，且与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状；若 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆记为 $\odot M$，请直接写出圆心 $M$的坐标；

（3）若将抛物线沿射线 $\mathit{BA}$方向平移，平移后点 $A$、 $B$、 $C$的对应点分别记为点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，△ $A_1{B}_1{C}_1$的外接圆记为 $\odot M_1$，是否存在某个位置，使 $\odot M_1$经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，已知点 $A(1,2)$， $B(2,3)$， $C(2,1)$，直线 $y=x+m$经过点 $A$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$恰好经过 $A$， $B$， $C$三点中的两点．

（1）判断点 $B$是否在直线 $y=x+m$上，并说明理由；

（2）求 $a$， $b$的值；

（3）平移抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$，使其顶点仍在直线 $y=x+m$上，求平移后所得抛物线与 $y$轴交点纵坐标的最大值．

如图，已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c(b$， $c$为常数）的图象经过点 $A(3,1)$，点 $C(0,4)$，顶点为点 $M$，过点 $A$作 $\mathit{AB}//x$轴，交 $y$轴于点 $D$，交该二次函数图象于点 $B$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求该二次函数的解析式及点 $M$的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移 $m(m>0)$个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部（不包括 $\mathit{\Delta ABC}$的边界），求 $m$的取值范围；

（3）点 $P$是直线 $\mathit{AC}$上的动点，若点 $P$，点 $C$，点 $M$所构成的三角形与 $\mathit{\Delta BCD}$相似，请直接写出所有点 $P$的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

在"探索函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 与图象的关系"活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点： $A(0,2)$ ， $B(1,0)$ ， $C(3,1)$ ， $D(2,3)$ ．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 $a$ 的值最大为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{2}$

B．

$\frac{3}{2}$

C．

$\frac{5}{6}$

D．

$\frac{1}{2}$

已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$的顶点为 $A$．点 $B$的坐标为 $(3,5)$．

（1）求抛物线过点 $B$时顶点 $A$的坐标；

（2）点 $A$的坐标记为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$的函数表达式；

（3）已知 $C$点的坐标为 $(0,2)$，当 $m$取何值时，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$与线段 $\mathit{BC}$只有一个交点．

如图，抛物线 $y=-x^2+2x+c$与 $x$轴正半轴， $y$轴正半轴分别交于点 $A$， $B$，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$，点 $G$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$的坐标；

（2）点 $M$， $N$为抛物线上两点（点 $M$在点 $N$的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点 $Q$为抛物线上点 $M$， $N$之间（含点 $M$， $N)$的一个动点，求点 $Q$的纵坐标 $y_Q$的取值范围．

已知函数 $y_1=a{x}^2+\mathit{bx}$， $y_2=\mathit{ax}+b(\mathit{ab}\ne 0)$．在同一平面直角坐标系中．

（1）若函数 $y_1$的图象过点 $(-1,0)$，函数 $y_2$的图象过点 $(1,2)$，求 $a$， $b$的值．

（2）若函数 $y_2$的图象经过 $y_1$的顶点．

①求证： $2a+b=0$；

②当 $1<x<\frac{3}{2}$时，比较 $y_1$， $y_2$的大小．