初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

已知抛物线 ，直线 ， 的对称轴与 交于点 ，点 与 的顶点 的距离是4．

（1）求 的解析式；

（2）若 随着 的增大而增大，且 与 都经过 轴上的同一点，求 的解析式．

如图，在直角坐标系中，直线 y＝ kx+1（ k≠0）与双曲线 $y=\frac{2}{x}(x>0)$ 相交于点 P（1， m）．

（1）求 k的值；

（2）若点 Q与点 P关于直线 y＝ x成轴对称，则点 Q的坐标是 Q（ 　　）；

（3）若过 P、 Q二点的抛物线与 y轴的交点为 $N\left(0,\frac{5}{3}\right)$ ，求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

已知抛物线 y＝ mx ²+（1﹣2 m） x+1﹣3 m与 x轴相交于不同的两点 A、 B

（1）求 m的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P的坐标；

（3）当 $\frac{1}{4}$ ＜ m≤8时，由（2）求出的点 P和点 A， B构成的△ ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的 m值．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）直接写出二次函数的解析式 　 $y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{2}x+2$ 　；

（2）平移直线 $\mathit{BC}$ ，当直线 $\mathit{BC}$ 与抛物线有唯一公共点 $Q$ 时，求此时点 $Q$ 的坐标；

（3）过（2）中的点 $Q$ 作 $\mathit{QE}//y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $E$ ．若点 $M$ 是抛物线上一个动点，点 $N$ 是 $x$ 轴上一个动点，是否存在以 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点为顶点的直角三角形（其中 $M$ 为直角顶点）与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点 $M$ 的个数和其中一个符合条件的点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）直接写出二次函数的解析式 　 　；

（2）平移直线 $\mathit{BC}$ ，当直线 $\mathit{BC}$ 与抛物线有唯一公共点 $Q$ 时，求此时点 $Q$ 的坐标；

（3）过（2）中的点 $Q$ 作 $\mathit{QE}//y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $E$ ．若点 $M$ 是抛物线上一个动点，点 $N$ 是 $x$ 轴上一个动点，是否存在以 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点为顶点的直角三角形（其中 $M$ 为直角顶点）与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点 $M$ 的个数和其中一个符合条件的点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}$ 的图象与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 与该抛物线交于 $B$ 、 $C$ 两点（点 $B$ 位于点 $C$ 左侧），与抛物线对称轴交于点 $D(2,-3)$ ．

（1）求 $b$ 的值；

（2）设 $P$ 、 $Q$ 是 $x$ 轴上的点（点 $P$ 位于点 $Q$ 左侧），四边形 $\mathit{PBCQ}$ 为平行四边形．过点 $P$ 、 $Q$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与抛物线交于点 $P^{\text{'}}(x_1$ ， $y_1)$ 、 $Q^{\text{'}}(x_2$ ， $y_2)$ ．若 $|y_1-y_2|=2$ ，求 $x_1$ 、 $x_2$ 的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过 $A(2,0)$ ， $B(3n-4,y_1)$ ， $C(5n+6,y_2)$ 三点，对称轴是直线 $x=1$ ．关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=x$ 有两个相等的实数根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $n<-5$ ，试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小；

（3）若 $B$ ， $C$ 两点在直线 $x=1$ 的两侧，且 $y_1>y_2$ ，求 $n$ 的取值范围．

在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．

（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；

（2）当的值最大时，求点的坐标；

（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线” 的顶点的坐标．

我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”．

①　　；

②　　；

③　　．

（2）若点与点是关于的“函数” 的一对“点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求，，的值或取值范围．

（3）若关于的“函数” ，，是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该“函数”截轴得到的线段长度的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰直角 $\mathit{\Delta ABC}$ 的直角顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，另两个顶点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，且 $\mathit{AB}=4$ ，抛物线经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线 $l$ 交抛物线于 $M$ ， $N$ 两点，如图2所示．

①求 $\mathit{\Delta CMN}$ 面积的最小值．

②已知 $Q(1,-\frac{3}{2})$ 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 $P$ ，使得点 $P$ 与点 $Q$ 关于直线 $l$ 对称，若存在，求出点 $P$ 的坐标及直线 $l$ 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，关于 $x$ 的二次函数 $y=x^2+\mathit{px}+q$ 的图象过点 $(-1,0)$ ， $(2,0)$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当 $-2⩽x⩽1$ 时， $y$ 的最大值与最小值的差；

（3）一次函数 $y=(2-m)x+2-m$ 的图象与二次函数 $y=x^2+\mathit{px}+q$ 的图象交点的横坐标分别是 $a$ 和 $b$ ，且 $a<3<b$ ，求 $m$ 的取值范围．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2$ 过点 $A(-3,\frac{9}{4})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知直线 $l$ 过点 $A$ ， $M(\frac{3}{2}$ ， $0)$ 且与抛物线交于另一点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，求证： $M{C}^2=\mathit{MA}·\mathit{MB}$ ；

（3）若点 $P$ ， $D$ 分别是抛物线与直线 $l$ 上的动点，以 $\mathit{OC}$ 为一边且顶点为 $O$ ， $C$ ， $P$ ， $D$ 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 $P$ 点坐标．

如图，已知二次函数的图象经过点， ，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．

如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．已知，．请答案下列问题：

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；

（2）抛物线的对称轴与轴交于点，连接，的垂直平分线交直线于点，则线段的长为　　．

注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，．

已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）如图，点，分别在线段，上（点不与点，重合），且，，直接写出线段的长．