初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+2x+c(a<0)$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$（点 $A$在原点的左侧，点 $B$在原点的右侧），与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{OB}=\mathit{OC}=3$．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图1，连接 $\mathit{BC}$，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的点，连接 $\mathit{OD}$， $\mathit{CD}$． $\mathit{OD}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，当 $S_{\mathit{\Delta COF}}:S_{\mathit{\Delta CDF}}=3:2$时，求点 $D$的坐标．

（3）如图2，点 $E$的坐标为 $(0,-\frac{3}{2})$，点 $P$是抛物线上的点，连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PE}$形成的 $\mathit{\Delta PBE}$中，是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{PBE}$或 $\angle \mathit{PEB}$等于 $2\angle \mathit{OBE}$？若存在，请直接写出符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$，顶点为 $P(-1,-4)$， $\mathit{PB}\perp x$轴于点 $B$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AC}$，在 $x$轴下方的抛物线上存在点 $N$， $\mathit{BN}$与 $\mathit{AC}$的交点 $F$平分 $\mathit{BN}$，求点 $F$的坐标；

（3）将线段 $\mathit{BP}$和 $\mathit{BA}$绕点 $B$同时顺时针旋转相同的角度，得到线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{BD}$，直线 $\mathit{PE}$， $\mathit{AD}$相交于点 $M$．

①如图2，设 $\mathit{PE}$与 $x$轴交于点 $H$，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{AD}$交于点 $G$，求 $\frac{\mathit{BG}}{\mathit{BH}}$的值；

②连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{OM}$的长随线段 $\mathit{BP}$， $\mathit{BA}$的旋转而发生变化，请直接写出线段 $\mathit{OM}$长度的取值范围．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2-5\sqrt{3}x+c(a>0)$的图象与 $x$轴相交于不同的两点 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0)$，且 $x_1<x_2$，

（1）若抛物线的对称轴为 $x=\sqrt{3}$，求 $a$的值；

（2）若 $a=15$，求 $c$的取值范围；

（3）若该抛物线与 $y$轴相交于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$，且 $\angle \mathit{OBD}=60°$，抛物线的对称轴 $l$与 $x$轴相交于点 $E$，点 $F$是直线 $l$上的一点，点 $F$的纵坐标为 $3+\frac{1}{2a}$，连接 $\mathit{AF}$，满足 $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{AFE}$，求该二次函数的解析式．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+1(a\ne 0$， $a$为实数）的图象过点 $A(-2,2)$，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0$， $k$， $b$为实数）的图象 $l$经过点 $B(0,2)$．

（1）求 $a$值并写出二次函数表达式；

（2）求 $b$值；

（3）设直线 $l$与二次函数图象交于 $M$， $N$两点，过 $M$作 $\mathit{MC}$垂直 $x$轴于点 $C$，试证明： $\mathit{MB}=\mathit{MC}$；

（4）在（3）的条件下，请判断以线段 $\mathit{MN}$为直径的圆与 $x$轴的位置关系，并说明理由．

已知抛物线 $F:y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过坐标原点 $O$，且与 $x$轴另一交点为 $(-\frac{\sqrt{3}}{3}$， $0)$．

（1） 求抛物线 $F$的解析式；

（2） 如图 1 ，直线 $l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+m(m>0)$与抛物线 $F$相交于点 $A(x_1$， $y_1)$和点 $B(x_2$， $y_2)$（点 $A$在第二象限） ，求 $y_2-y_1$的值 （用 含 $m$的式子表示） ；

（3） 在 （2） 中， 若 $m=\frac{4}{3}$，设点 $A\text{'}$是点 $A$关于原点 $O$的对称点， 如图 2 ．

①判断△ $\mathit{AA}\text{'}B$的形状， 并说明理由；

②平面内是否存在点 $P$，使得以点 $A$、 $B$、 $A\text{'}$、 $P$为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点 $P$的坐标；若不存在， 请说明理由 ．

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a$、 $b$为常数， $a\ne 0)$与 $x$轴相交于另一点 $A(3,0)$．直线 $l:y=x$在第一象限内和此抛物线相交于点 $B(5,t)$，与抛物线的对称轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上找一点 $P$，使以点 $P$、 $O$、 $C$为顶点的三角形与以点 $A$、 $O$、 $B$为顶点的三角形相似，求满足条件的点 $P$的坐标；

（3）直线 $l$沿着 $x$轴向右平移得到直线 $l\text{'}$， $l\text{'}$与线段 $\mathit{OA}$相交于点 $M$，与 $x$轴下方的抛物线相交于点 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp x$轴于点 $E$．把 $\mathit{\Delta MEN}$沿直线 $l\text{'}$折叠，当点 $E\text{'}$恰好落在抛物线上时（图 $2)$，求直线 $l\text{'}$的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图 $3)$，直线 $l\text{'}$与 $y$轴相交于点 $K$，把 $\mathit{\Delta MOK}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$得到△ $M\text{'}\mathit{OK}\text{'}$，点 $F$为直线 $l\text{'}$上的动点．当△ $M^{\text{'}}\mathit{FK}\text{'}$为等腰三角形时，求满足条件的点 $F$的坐标．

如图所示，将二次函数 $y=x^2+2x+1$的图象沿 $x$轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象．函数 $y=x^2+2x+1$的图象的顶点为点 $A$．函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象的顶点为点 $B$，和 $x$轴的交点为点 $C$， $D$（点 $D$位于点 $C$的左侧）．

（1）求函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的解析式；

（2）从点 $A$， $C$， $D$三个点中任取两个点和点 $B$构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点 $M$是线段 $\mathit{BC}$上的动点，点 $N$是 $\mathit{\Delta ABC}$三边上的动点，是否存在以 $\mathit{AM}$为斜边的 $\text{Rt}\Delta \text{AMN}$，使 $\mathit{\Delta AMN}$的面积为 $\mathit{\Delta ABC}$面积的 $\frac{1}{3}$？若存在，求 $\tan \angle \mathit{MAN}$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与两坐标轴相交于点 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,3)$， $D$是抛物线的顶点， $E$是线段 $\mathit{AB}$的中点．

（1）求抛物线的解析式，并写出 $D$点的坐标；

（2） $F(x,y)$是抛物线上的动点：

①当 $x>1$， $y>0$时，求 $\mathit{\Delta BDF}$的面积的最大值；

②当 $\angle \mathit{AEF}=\angle \mathit{DBE}$时，求点 $F$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线 $\mathit{AC}$的解析式；

（2）请在 $y$轴上找一点 $M$，使 $\mathit{\Delta BDM}$的周长最小，求出点 $M$的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点 $P$，使以点 $A$， $P$， $C$为顶点， $\mathit{AC}$为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=m{x}^2-16\mathit{mx}+48m(m>0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $B$在点 $A$左侧），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AD}$，延长 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $E$．

（1）若 $\mathit{\Delta OAC}$为等腰直角三角形，求 $m$的值；

（2）若对任意 $m>0$， $C$、 $E$两点总关于原点对称，求点 $D$的坐标（用含 $m$的式子表示）；

（3）当点 $D$运动到某一位置时，恰好使得 $\angle \mathit{ODB}=\angle \mathit{OAD}$，且点 $D$为线段 $\mathit{AE}$的中点，此时对于该抛物线上任意一点 $P(x_0$， $y_0)$总有 $n+\frac{1}{6}⩾-4\sqrt{3}m{y}_0^2-12\sqrt{3}{y}_0-50$成立，求实数 $n$的最小值．

已知抛物线 $c_1$的顶点为 $A(-1,4)$，与 $y$轴的交点为 $D(0,3)$．

（1）求 $c_1$的解析式；

（2）若直线 $l_1:y=x+m$与 $c_1$仅有唯一的交点，求 $m$的值；

（3）若抛物线 $c_1$关于 $y$轴对称的抛物线记作 $c_2$，平行于 $x$轴的直线记作 $l_2:y=n$．试结合图形回答：当 $n$为何值时， $l_2$与 $c_1$和 $c_2$共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；

（4）若 $c_2$与 $x$轴正半轴交点记作 $B$，试在 $x$轴上求点 $P$，使 $\mathit{\Delta PAB}$为等腰三角形．

如图，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B(3,0)$， $C(0,-2)$，直线 $l:y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$交 $y$轴于点 $E$，且与抛物线交于 $A$， $D$两点， $P$为抛物线上一动点（不与 $A$， $D$重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$在直线 $l$下方时，过点 $P$作 $\mathit{PM}//x$轴交 $l$于点 $M$， $\mathit{PN}//y$轴交 $l$于点 $N$，求 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$的最大值．

（3）设 $F$为直线 $l$上的点，以 $E$， $C$， $P$， $F$为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 $F$的坐标；若不能，请说明理由．

如图所示，顶点为 $(\frac{1}{2}$， $-\frac{9}{4})$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $M(2,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $A$是抛物线与 $x$轴的交点（不与点 $M$重合），点 $B$是抛物线与 $y$轴的交点，点 $C$是直线 $y=x+1$上一点（处于 $x$轴下方），点 $D$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$图象上一点，若以点 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形是菱形，求 $k$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于两点 $A(-4,0)$和 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,2)$，动点 $D$沿 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$以每秒2个单位长度的速度由起点 $A$向终点 $B$运动，过点 $D$作 $x$轴的垂线，交 $\mathit{\Delta ABC}$的另一边于点 $E$，将 $\mathit{\Delta ADE}$沿 $\mathit{DE}$折叠，使点 $A$落在点 $F$处，设点 $D$的运动时间为 $t$秒．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta EFC}$为直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（3）设四边形 $\mathit{DECO}$的面积为 $s$，求 $s$关于 $t$的函数表达式．

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $D$是 $y$轴上的一点，且以 $B$， $C$， $D$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，求点 $D$的坐标；

（3）如图2， $\mathit{CE}//x$轴与抛物线相交于点 $E$，点 $H$是直线 $\mathit{CE}$下方抛物线上的动点，过点 $H$且与 $y$轴平行的直线与 $\mathit{BC}$， $\mathit{CE}$分别相交于点 $F$， $G$，试探究当点 $H$运动到何处时，四边形 $\mathit{CHEF}$的面积最大，求点 $H$的坐标及最大面积；

（4）若点 $K$为抛物线的顶点，点 $M(4,m)$是该抛物线上的一点，在 $x$轴， $y$轴上分别找点 $P$， $Q$，使四边形 $\mathit{PQKM}$的周长最小，求出点 $P$， $Q$的坐标．