初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图1，过点的抛物线与直线交于点．点是线段上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设的面积为，点的横坐标为．

（1）请直接写出的值及抛物线的解析式．

（2）为探究最大时点的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助的长与三角形面积公式，求出关于的函数关系式，可确定点的位置．

乙：当点运动到点或点时，的值可看作0，则当点运动到中点时，最大，即最大时，点为的中点．

请参考甲的方法求出最大时点的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线与任意抛物线相交于、两点，是线段上的一个动点，过点作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点．当的面积最大时，点一定是线段的中点吗？试作出判断并说明理由．

如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；

（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为．

①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

②当时，直接写出的面积．

《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则　　．

【操作】将图①中抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为，如图②．直接写出图象对应的函数解析式．

【探究】在图②中，过点作直线平行于轴，与图象的交点从左至右依次为点，，，，如图③．求图象在直线上方的部分对应的函数随增大而增大时的取值范围．

【应用】是图③中图象上一点，其横坐标为，连接，．直接写出的面积不小于1时的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，的长度为，以为边向上作等边三角形，抛物线经过点，，三点

（1）当时，　　，当时，　　；

（2）根据（1）中的结果，猜想与的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作轴的平行线交抛物线于、两点，的长度为，当为等腰直角三角形时，和的关系式为　　；

（4）利用（2）（3）中的结论，求与的面积比．

如图，若是正数，直线与轴交于点；直线与轴交于点；抛物线的顶点为，且与轴右交点为．

（1）若，求的值，并求此时的对称轴与的交点坐标；

（2）当点在下方时，求点与距离的最大值；

（3）设，点，，，，，分别在，和上，且是，的平均数，求点，与点间的距离；

（4）在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数．

如图，抛物线 $L:y=-\frac{1}{2}(x-t)(x-t+4)$ （常数 $t>0)$ 与 $x$ 轴从左到右的交点为 $B$ ， $A$ ，过线段 $\mathit{OA}$ 的中点 $M$ 作 $\mathit{MP}\perp x$ 轴，交双曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 于点 $P$ ，且 $\mathit{OA}·\mathit{MP}=12$ ，

（1）求 $k$ 值；

（2）当 $t=1$ 时，求 $\mathit{AB}$ 的长，并求直线 $\mathit{MP}$ 与 $L$ 对称轴之间的距离；

（3）把 $L$ 在直线 $\mathit{MP}$ 左侧部分的图象（含与直线 $\mathit{MP}$ 的交点）记为 $G$ ，用 $t$ 表示图象 $G$ 最高点的坐标；

（4）设 $L$ 与双曲线有个交点的横坐标为 $x_0$ ，且满足 $4⩽x_0⩽6$ ，通过 $L$ 位置随 $t$ 变化的过程，直接写出 $t$ 的取值范围．