初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$交 $x$轴正半轴于点 $A$，直线 $y=2x$经过抛物线的顶点 $M$．已知该抛物线的对称轴为直线 $x=2$，交 $x$轴于点 $B$．

（1）求 $a$， $b$的值．

（2） $P$是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 $\mathit{OP}$， $\mathit{BP}$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{\Delta OBP}$的面积为 $S$，记 $K=\frac{S}{m}$．求 $K$关于 $m$的函数表达式及 $K$的范围．

如图①，直线 y＝ $\frac{1}{2}$ x﹣3与 x轴、 y轴分别交于点 B， C，抛物线 y＝ $\frac{1}{4}{x}^2$ + bx+ c过 B， C两点，且与 x轴的另一个交点为点 A，连接 AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点 D（与点 A不重合），使得 S _{△ DBC}＝ S _{△ ABC}，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿 x轴方向平移，与 y轴平行的一组对边交抛物线于点 P和点 Q，交直线 CB于点 M和点 N，在矩形平移过程中，当以点 P， Q， M， N为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M的坐标．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若 $P$是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点， $\mathit{PH}\perp x$轴于点 $H$，与线段 $\mathit{BC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{PC}$．

①求线段 $\mathit{PM}$的最大值；

②当 $\mathit{\Delta PCM}$是以 $\mathit{PM}$为一腰的等腰三角形时，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $C_1:y=\frac{3}{2}{x}^2+6x+2$的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C₁沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C₂：直线 $l：y＝\mathit{kx}+b$经过M，N两点．

（1）结合图象，直接写出不等式 $\frac{3}{2}{x}^2+6x+2<\mathit{kx}+b$的解集；

（2）若抛物线C₂的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C₂的解析式；

（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与（2）中的抛物线C₂存在公共点，求3﹣4q的最大值．

在平面直角坐标系中，已知点 $A(1,2)$， $B(2,3)$， $C(2,1)$，直线 $y=x+m$经过点 $A$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$恰好经过 $A$， $B$， $C$三点中的两点．

（1）判断点 $B$是否在直线 $y=x+m$上，并说明理由；

（2）求 $a$， $b$的值；

（3）平移抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$，使其顶点仍在直线 $y=x+m$上，求平移后所得抛物线与 $y$轴交点纵坐标的最大值．

已知抛物线 y＝ a（ x﹣1） ²+3（ a≠0）与 y轴交于点 A（0，2），顶点为 B，且对称轴 l ₁与 x轴交于点 M

（1）求 a的值，并写出点 B的坐标；

（2）有一个动点 P从原点 O出发，沿 x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为 t秒，求 t为何值时 PA+ PB最短；

（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点 C，且新抛物线的对称轴 l ₂与 x轴交于点 N，过点 C作 DE∥ x轴，分别交 l ₁， l ₂于点 D、 E，若四边形 MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．

如图，已知点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,1)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上求一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$面积为1；

（3）在 $x$轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 $Q$，使 $\angle \mathit{BQC}=\angle \mathit{BAC}$？若存在，求出 $Q$点坐标；若不存在，说明理由．

如图，已知点，，，抛物线与直线交于点．

（1）当抛物线经过点时，求它的表达式；

（2）设点的纵坐标为，求的最小值，此时抛物线上有两点，，，，且，比较与的大小；

（3）当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a<0)$过点 $E(10,0)$，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在线段 $\mathit{OE}$上（点 $A$在点 $B$的左边），点 $C$， $D$在抛物线上．设 $A(t,0)$，当 $t=2$时， $\mathit{AD}=4$．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当 $t$为何值时，矩形 $\mathit{ABCD}$的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持 $t=2$时的矩形 $\mathit{ABCD}$不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $G$， $H$，且直线 $\mathit{GH}$平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$与 $y$轴交于点 $C$，与x轴交于 $A，B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），且 $A$点坐标为 $(-\sqrt{2},0)$，直线 $\mathit{BC}$的解析式为 $y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x+2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$，交抛物线于点D，点E为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）将抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$向左平移 $\sqrt{2}$个单位，已知点 $M$为抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $\mathit{BECD}$的面积最大时，是否存在以 $A，E，M，N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{(x-m)}^2+4$图象的顶点为 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，异于顶点 $A$的点 $C(1,n)$在该函数图象上．

（1）当 $m=5$时，求 $n$的值．

（2）当 $n=2$时，若点 $A$在第一象限内，结合图象，求当 $y⩾2$时，自变量 $x$的取值范围．

（3）作直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴相交于点 $D$．当点 $B$在 $x$轴上方，且在线段 $\mathit{OD}$上时，求 $m$的取值范围．

如图1，图形 $\mathit{ABCD}$是由两个二次函数 $y_1=k{x}^2+m(k<0)$与 $y_2=a{x}^2+b(a>0)$的部分图象围成的封闭图形．已知 $A(1,0)$、 $B(0,1)$、 $D(0,-3)$．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形 $\mathit{ABCD}$是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形 $\mathit{ABCD}$上），并说明理由；

（3）如图2，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$，在坐标平面内，求使得 $\mathit{\Delta BDC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$相似（其中点 $C$与点 $E$是对应顶点）的点 $E$的坐标．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图，对称轴为直线 x＝2的抛物线 y＝ x ²+ bx+ c与 x轴交于点 A和点 B，与 y轴交于点 C，且点 A的坐标为（﹣1，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）直接写出 B、 C两点的坐标；

（3）求过 O， B， C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）

注：二次函数 y＝ ax ²+ bx+ c（ a≠0）的顶点坐标为（ $-\frac{b}{2a},\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a}$ ）