初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点 $(A$在 $B$的左侧），且 $\mathit{OA}=3$， $\mathit{OB}=1$，与 $y$轴交于 $C(0,3)$，抛物线的顶点坐标为 $D(-1,4)$．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点 $D$作直线 $\mathit{DE}//y$轴，交 $x$轴于点 $E$，点 $P$是抛物线上 $B$、 $D$两点间的一个动点（点 $P$不与 $B$、 $D$两点重合）， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$与直线 $\mathit{DE}$分别交于点 $F$、 $G$，当点 $P$运动时， $\mathit{EF}+\mathit{EG}$是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=-x^2+2x-1$的顶点 $A$在 $x$轴上，交 $y$轴于 $B$，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与 $x$轴交于 $C$， $D$，顶点为 $E(1,4)$．

（1）求点 $B$的坐标和平移后抛物线的解析式；

（2）点 $M$在原抛物线上，平移后的对应点为 $N$，若 $\mathit{OM}=\mathit{ON}$，求点 $M$的坐标；

（3）如图2，直线 $\mathit{CB}$与平移后的抛物线交于 $F$．在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使得以 $C$， $F$， $P$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+6(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$和点 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线 $y$的函数表达式及点 $C$的坐标；

（2）点 $M$为坐标平面内一点，若 $\mathit{MA}=\mathit{MB}=\mathit{MC}$，求点 $M$的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点 $E$，使 $4\tan \angle \mathit{ABE}=11\tan \angle \mathit{ACB}$？若存在，求出满足条件的所有点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-5\mathit{ax}+c$与坐标轴分别交于点 $A$， $C$， $E$三点，其中 $A(-3,0)$， $C(0,4)$，点 $B$在 $x$轴上， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，过点 $B$作 $\mathit{BD}\perp x$轴交抛物线于点 $D$，点 $M$， $N$分别是线段 $\mathit{CO}$， $\mathit{BC}$上的动点，且 $\mathit{CM}=\mathit{BN}$，连接 $\mathit{MN}$， $\mathit{AM}$， $\mathit{AN}$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）当 $\mathit{\Delta CMN}$是直角三角形时，求点 $M$的坐标；

（3）试求出 $\mathit{AM}+\mathit{AN}$的最小值．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的顶点 $M(\sqrt{3}$， $3)$关于 $x$轴的对称点为 $B$，点 $A$为抛物线与 $x$轴的一个交点，点 $A$关于原点 $O$的对称点为 $A\text{'}$；已知 $C$为 $A\text{'}B$的中点， $P$为抛物线上一动点，作 $\mathit{CD}\perp x$轴， $\mathit{PE}\perp x$轴，垂足分别为 $D$， $E$．

（1）求点 $A$的坐标及抛物线的解析式；

（2）当 $0<x<2\sqrt{3}$时，是否存在点 $P$使以点 $C$， $D$， $P$， $E$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{OC}=2\mathit{OB}$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$．抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是直线 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一点，过点 $P$作 $\mathit{PD}$垂直 $x$轴于点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，使 $\mathit{PE}=\frac{1}{2}\mathit{DE}$．

①求点 $P$的坐标；

②在直线 $\mathit{PD}$上是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta ABM}$为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$与 $x$轴分别交于原点 $O$和点 $F(10,0)$，与对称轴 $l$交于点 $E(5,5)$．矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴正半轴上，且 $\mathit{AB}=1$，边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$与抛物线分别交于点 $M$， $N$．当矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $x$轴正方向平移，点 $M$， $N$位于对称轴 $l$的同侧时，连接 $\mathit{MN}$，此时，四边形 $\mathit{ABNM}$的面积记为 $S$；点 $M$， $N$位于对称轴 $l$的两侧时，连接 $\mathit{EM}$， $\mathit{EN}$，此时五边形 $\mathit{ABNEM}$的面积记为 $S$．将点 $A$与点 $O$重合的位置作为矩形 $\mathit{ABCD}$平移的起点，设矩形 $\mathit{ABCD}$平移的长度为 $t(0⩽t⩽5)$．

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当 $t=0$时，求 $S_{\mathit{\Delta OBN}}$的值；

（3）当矩形 $\mathit{ABCD}$沿着 $x$轴的正方向平移时，求 $S$关于 $t(0<t⩽5)$的函数表达式，并求出 $t$为何值时， $S$有最大值，最大值是多少？

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,3)$三点， $D$为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$于 $E$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段 $\mathit{DE}$长度的最大值；

（3）如图2，设 $\mathit{AB}$的中点为 $F$，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CF}$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDE}$中有一个角与 $\angle \mathit{CFO}$相等？若存在，求点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$经过点 $A(3,0)$， $B(-1,0)$， $C(0,-3)$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若以点 $A$为圆心的圆与直线 $\mathit{BC}$相切于点 $M$，求切点 $M$的坐标；

（3）若点 $Q$在 $x$轴上，点 $P$在抛物线上，是否存在以点 $B$， $C$， $Q$， $P$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$过 $A(2,0)$、 $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，过点 $C$作 $x$轴的平行线与抛物线上的另一个交点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．点 $P$是该抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $m(m>4)$．

（1）求该抛物线的表达式和 $\angle \mathit{ACB}$的正切值；

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ACP}=45°$，求 $m$的值；

（3）如图3，过点 $A$、 $P$的直线与 $y$轴于点 $N$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $M$，直线 $\mathit{MN}$与 $x$轴交于点 $Q$，试判断四边形 $\mathit{ADMQ}$的形状，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B(-5,0)$和点 $C(1,0)$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//x$轴交抛物线于点 $D$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点 $E$是抛物线上一点，且点 $E$关于 $x$轴的对称点在直线 $\mathit{AD}$上，求 $\mathit{\Delta EAD}$的面积；

（3）若点 $P$是直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标和 $\mathit{\Delta ABP}$的最大面积．

如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)(a>0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，抛物线上另有一点 $C$在 $x$轴下方，且使 $\mathit{\Delta OCA}\backsim \mathit{\Delta OBC}$．

（1）求线段 $\mathit{OC}$的长度；

（2）设直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $M$，点 $C$是 $\mathit{BM}$的中点时，求直线 $\mathit{BM}$和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上是否存在一点 $P$，使得四边形 $\mathit{ABPC}$面积最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y=x-1$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A$、 $B$两点，其中 $A(m,0)$、 $B(4,n)$，该抛物线与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴交于另一点 $D$．

（1）求 $m$、 $n$的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，若点 $P$为线段 $\mathit{AD}$上的一动点（不与 $A$、 $D$重合），分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{DP}$为斜边，在直线 $\mathit{AD}$的同侧作等腰直角 $\mathit{\Delta APM}$和等腰直角 $\mathit{\Delta DPN}$，连接 $\mathit{MN}$，试确定 $\mathit{\Delta MPN}$面积最大时 $P$点的坐标；

（3）如图3，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，在线段 $\mathit{CD}$上是否存在点 $Q$，使得以 $A$、 $D$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABD}$相似，若存在，请直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$与 $x$轴交于另一点 $A(\frac{3}{2}$， $0)$，在第一象限内与直线 $y=x$交于点 $B(2,t)$．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点 $C$，满足以 $B$， $O$， $C$为顶点的三角形的面积为2，求点 $C$的坐标；

（3）如图2，若点 $M$在这条抛物线上，且 $\angle \mathit{MBO}=\angle \mathit{ABO}$，在（2）的条件下，是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta POC}\backsim \mathit{\Delta MOB}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$坐标为 $(6,0)$，点 $C$坐标为 $(0,6)$，点 $D$是抛物线的顶点，过点 $D$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）点 $F$是抛物线上的动点，当 $\angle \mathit{FBA}=\angle \mathit{BDE}$时，求点 $F$的坐标；

（3）若点 $M$是抛物线上的动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}//x$轴与抛物线交于点 $N$，点 $P$在 $x$轴上，点 $Q$在坐标平面内，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作正方形 $\mathit{MPNQ}$，请写出点 $Q$的坐标．