初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-5,0)$， $B(1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $E(x,y)$为抛物线上一点，且 $-5<x<-2$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//x$轴，交抛物线的对称轴于点 $F$，作 $\mathit{EH}\perp x$轴于点 $H$，得到矩形 $\mathit{EHDF}$，求矩形 $\mathit{EHDF}$周长的最大值；

（3）如图2，点 $P$为抛物线对称轴上一点，是否存在点 $P$，使以点 $P$， $A$， $C$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $y$轴于点 $A$，并经过 $B(4,4)$和 $C(6,0)$两点，点 $D$的坐标为 $(4,0)$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$，点 $E$从点 $A$出发，以每秒 $\sqrt{2}$个单位长度的速度沿线段 $\mathit{AD}$向点 $D$运动，到达点 $D$后，以每秒1个单位长度的速度沿射线 $\mathit{DC}$运动，设点 $E$的运动时间为 $t$秒，过点 $E$作 $\mathit{AB}$的垂线 $\mathit{EF}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $F$，以线段 $\mathit{EF}$为斜边向右作等腰直角 $\mathit{\Delta EFG}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $G$落在第一象限内的抛物线上时，求出 $t$的值；

（3）设点 $E$从点 $A$出发时，点 $E$， $F$， $G$都与点 $A$重合，点 $E$在运动过程中，当 $\mathit{\Delta BCG}$的面积为4时，直接写出相应的 $t$值，并直接写出点 $G$从出发到此时所经过的路径长．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的一边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $C(4,8)$在第一象限内， $\mathit{AC}$与 $y$轴交于点 $E$，抛物线 $y=\frac{3}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $D(0,-6)$．

（1）请直接写出抛物线的表达式；

（2）求 $\mathit{ED}$的长；

（3）点 $P$是 $x$轴下方抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{\Delta PAC}$的面积为 $S$，试求出 $S$与 $m$的函数关系式；

（4）若点 $M$是 $x$轴上一点（不与点 $A$重合），抛物线上是否存在点 $N$，使 $\angle \mathit{CAN}=\angle \mathit{MAN}$．若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， 抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的开口向上， 且经过点 $A(0,\frac{3}{2})$

（1） 若此抛物线经过点 $B(2,-\frac{1}{2})$，且与 $x$轴相交于点 $E$， $F$．

①填空： $b=$　　（用 含 $a$的代数式表示） ；

②当 $E{F}^2$的值最小时， 求抛物线的解析式；

（2） 若 $a=\frac{1}{2}$，当 $0⩽x⩽1$，抛物线上的点到 $x$轴距离的最大值为 3 时， 求 $b$的值 ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a$， $b$为常数， $a\ne 0)$经过两点 $A(2,4)$， $B(4,4)$，交 $x$轴正半轴于点 $C$．

（1）求抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的解析式．

（2）过点 $B$作 $\mathit{BD}$垂直于 $x$轴，垂足为点 $D$，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$，将 $\mathit{\Delta ABD}$以 $\mathit{AD}$为轴翻折，点 $B$的对应点为 $E$，直线 $\mathit{DE}$交 $y$轴于点 $P$，请判断点 $E$是否在抛物线上，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$是线段 $\mathit{OC}$（不包含端点）上一动点，过点 $Q$垂直于 $x$轴的直线分别交直线 $\mathit{DP}$及抛物线于点 $M$， $N$，连接 $\mathit{PN}$，请探究：是否存在点 $Q$，使 $\mathit{\Delta PMN}$是以 $\mathit{PM}$为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $B(3,0)$，经过点 $A$的直线 $\mathit{AC}$与抛物线的另一交点为 $C(4,\frac{5}{2})$，与 $y$轴交点为 $D$，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$下方的抛物线上的一个动点（不与点 $A$， $C$重合）．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $E$，作 $\mathit{PF}//y$轴交直线 $\mathit{AC}$于点 $F$，设点 $P$的横坐标为 $t$，线段 $\mathit{EF}$的长度为 $m$，求 $m$与 $t$的函数关系式．

（3）点 $Q$在抛物线的对称轴上运动，当 $\mathit{\Delta OPQ}$是以 $\mathit{OP}$为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+2$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）试探究 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；

（2）点 $P$是抛物线上一点（不与点 $A$重合），且 $S_{\mathit{\Delta PBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\angle \mathit{APB}$的度数；

（3）在（2）的条件下，点 $E$是 $x$轴上方抛物线上一点，点 $F$是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点 $E$和点 $F$，使得以点 $B$、 $P$、 $E$、 $F$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$，将 $\mathit{\Delta OBC}$沿 $\mathit{BC}$所在的直线翻折，得到 $\mathit{\Delta DBC}$，连接 $\mathit{OD}$．

（1）用含 $a$的代数式表示点 $C$的坐标．

（2）如图1，若点 $D$落在抛物线的对称轴上，且在 $x$轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设 $\mathit{\Delta OBD}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta OAC}$的面积为 $S_2$，若 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2}{3}$，求 $a$的值．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+6$与 $x$轴交于点 $A(-2,0)$， $B(6,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $D$，直线 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta AOE}$沿直线 $\mathit{AD}$平移得到 $\mathit{\Delta NMP}$．

①当点 $M$落在抛物线上时，求点 $M$的坐标．

②在 $\mathit{\Delta NMP}$移动过程中，存在点 $M$使 $\mathit{\Delta MBD}$为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 $M$的坐标．

如图，直线 $l:y=-3x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+a+4(a<0)$经过点 $B$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点 $M$是抛物线上的一个动点，并且点 $M$在第一象限内，连接 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BM}$，设点 $M$的横坐标为 $m$， $\mathit{\Delta ABM}$的面积为 $S$，求 $S$与 $m$的函数表达式，并求出 $S$的最大值；

（3）在（2）的条件下，当 $S$取得最大值时，动点 $M$相应的位置记为点 $M\text{'}$．

①写出点 $M\text{'}$的坐标；

②将直线 $l$绕点 $A$按顺时针方向旋转得到直线 $l\text{'}$，当直线 $l\text{'}$与直线 $\mathit{AM}\text{'}$重合时停止旋转，在旋转过程中，直线 $l\text{'}$与线段 $\mathit{BM}\text{'}$交于点 $C$，设点 $B$、 $M\text{'}$到直线 $l\text{'}$的距离分别为 $d_1$、 $d_2$，当 $d_1+d_2$最大时，求直线 $l\text{'}$旋转的角度（即 $\angle \mathit{BAC}$的度数）．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，抛物线经过点 $D(-2,-3)$和点 $E(3,2)$，点 $P$是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线 $\mathit{DE}$和抛物线的表达式；

（2）在 $y$轴上取点 $F(0,1)$，连接 $\mathit{PF}$， $\mathit{PB}$，当四边形 $\mathit{OBPF}$的面积是7时，求点 $P$的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点 $P$在抛物线对称轴的右侧时，直线 $\mathit{DE}$上存在两点 $M$， $N$（点 $M$在点 $N$的上方），且 $\mathit{MN}=2\sqrt{2}$，动点 $Q$从点 $P$出发，沿 $P\to M\to N\to A$的路线运动到终点 $A$，当点 $Q$的运动路程最短时，请直接写出此时点 $N$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-1,0)$和点 $C(0,4)$，交 $x$轴正半轴于点 $B$，连接 $\mathit{AC}$，点 $E$是线段 $\mathit{OB}$上一动点（不与点 $O$， $B$重合），以 $\mathit{OE}$为边在 $x$轴上方作正方形 $\mathit{OEFG}$，连接 $\mathit{FB}$，将线段 $\mathit{FB}$绕点 $F$逆时针旋转 $90°$，得到线段 $\mathit{FP}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}//y$轴， $\mathit{PH}$交抛物线于点 $H$，设点 $E(a,0)$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若 $\mathit{\Delta AOC}$与 $\mathit{\Delta FEB}$相似，求 $a$的值．

（3）当 $\mathit{PH}=2$时，求点 $P$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{3}{4}x+3$的图象与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于 $B$点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点，在第一象限的抛物线上取一点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴于点 $C$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta BDE}$和 $\mathit{\Delta ACE}$相似？若存在，请求出点 $D$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $F$是第一象限内抛物线上的动点（不与点 $D$重合），点 $G$是线段 $\mathit{AB}$上的动点．连接 $\mathit{DF}$， $\mathit{FG}$，当四边形 $\mathit{DEGF}$是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 $G$的坐标．

如图，直线 $y=-x+4$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$， $C$两点，与 $x$轴另一交点为 $A$．点 $P$以每秒 $\sqrt{2}$个单位长度的速度在线段 $\mathit{BC}$上由点 $B$向点 $C$运动（点 $P$不与点 $B$和点 $C$重合），设运动时间为 $t$秒，过点 $P$作 $x$轴垂线交 $x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $M$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点 $P$作 $y$轴垂线交 $y$轴于点 $N$，连接 $\mathit{MN}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$，当 $\frac{\mathit{MQ}}{\mathit{NQ}}=\frac{1}{2}$时，求 $t$的值；

（3）如图②，连接 $\mathit{AM}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，当 $\mathit{\Delta PDM}$是等腰三角形时，直接写出 $t$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$交 $x$轴于点 $A(-3,0)$和点 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求这个抛物线的函数表达式．

（2）点 $D$的坐标为 $(-1,0)$，点 $P$为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 $\mathit{ADCP}$面积的最大值．

（3）点 $M$为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 $N$，使 $\mathit{\Delta MNO}$为等腰直角三角形，且 $\angle \mathit{MNO}$为直角？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．