如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $y$轴于点 $A$，并经过 $B(4,4)$和 $C(6,0)$两点，点 $D$的坐标为 $(4,0)$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$，点 $E$从点 $A$出发，以每秒 $\sqrt{2}$个单位长度的速度沿线段 $\mathit{AD}$向点 $D$运动，到达点 $D$后，以每秒1个单位长度的速度沿射线 $\mathit{DC}$运动，设点 $E$的运动时间为 $t$秒，过点 $E$作 $\mathit{AB}$的垂线 $\mathit{EF}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $F$，以线段 $\mathit{EF}$为斜边向右作等腰直角 $\mathit{\Delta EFG}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $G$落在第一象限内的抛物线上时，求出 $t$的值；

（3）设点 $E$从点 $A$出发时，点 $E$， $F$， $G$都与点 $A$重合，点 $E$在运动过程中，当 $\mathit{\Delta BCG}$的面积为4时，直接写出相应的 $t$值，并直接写出点 $G$从出发到此时所经过的路径长．