初中数学抛物线与x轴的交点解答题

在同一直角坐标系中，抛物线与抛物线关于轴对称，与轴交于、两点，其中点在点的左侧．

（1）求抛物线，的函数表达式；

（2）求、两点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出、两点的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过点 $M(1,3)$ 和 $N(3,5)$

（1）试判断该抛物线与 $x$ 轴交点的情况；

（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 $A(-2,0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $B$ ，同时满足以 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．

某班"数学兴趣小组"对函数 $y=x^2-2\left|x\right|$ 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量 $x$ 的取值范围是全体实数， $x$ 与 $y$ 的几组对应值列表如下：

$x$	$\dots$	$-3$	$-\frac{5}{2}$	$-2$	$-1$	0	1	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	$\dots$	3	$\frac{5}{4}$	$m$	$-1$	0	$-1$	0	$\frac{5}{4}$	3	$\dots$

其中， $m=$ 　 　．

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．

（4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与 $x$ 轴有 　 　个交点，所以对应的方程 $x^2-2\left|x\right|=0$ 有 　 　个实数根；

②方程 $x^2-2\left|x\right|=2$ 有 　 　个实数根；

③关于 $x$ 的方程 $x^2-2\left|x\right|=a$ 有4个实数根时， $a$ 的取值范围是 　 　．

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）求直线的表达式；

（2）垂直于轴的直线与抛物线交于点，，，，与直线交于点，，若，结合函数的图象，求的取值范围．

若x₁、x₂是关于一元二次方程ax²+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁+x₂=-，x₁•x₂=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x₁-x₂|=；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为直角三角形时，求b²-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b²-4ac的值．

请阅读下列材料：若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：． 我们把它们称为根与系数关系定理．
如果设二次函数的图象与x轴的两个交点．利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

请你参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数的图象与x轴的两个交点为，抛物线的顶点为，显然为等腰三角形。
（1）当为等腰直角三角形时，求的值，
（2）当为等边三角形时，求的值，
（3）设抛物线与轴的两个交点为、，顶点为，且，试问如何平移此抛物线，才能使？

（年贵州省贵阳市）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线（）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．

（1）a      0，      0（填“＞”或“＜”）；
（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（年青海省中考）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（年新疆乌鲁木齐市）抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．