初中数学二次函数的应用解答题

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为1的正方形，点 $E$ 是射线 $\mathit{BC}$ 上的动点，以 $\mathit{AE}$ 为直角边在直线 $\mathit{BC}$ 的上方作等腰直角三角形 $\mathit{AEF}$ ， $\angle \mathit{AEF}=90°$ ，设 $\mathit{BE}=m$ ．

（1）如图，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上运动， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $P$ ， $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $Q$ ，连结 $\mathit{CF}$ ，

①当 $m=\frac{1}{3}$ 时，求线段 $\mathit{CF}$ 的长；

②在 $\mathit{\Delta PQE}$ 中，设边 $\mathit{QE}$ 上的高为 $h$ ，请用含 $m$ 的代数式表示 $h$ ，并求 $h$ 的最大值；

（2）设过 $\mathit{BC}$ 的中点且垂直于 $\mathit{BC}$ 的直线被等腰直角三角形 $\mathit{AEF}$ 截得的线段长为 $y$ ，请直接写出 $y$ 与 $m$ 的关系式．

如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$与 $x$， $y$轴分别交于点 $B$， $A$，顶点为 $P$的抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$过点 $A$．

（1）求出点 $A$， $B$的坐标及 $c$的值；

（2）若函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$在 $3⩽x⩽4$时有最大值为 $a+2$，求 $a$的值；

（3）连接 $\mathit{AP}$，过点 $A$作 $\mathit{AP}$的垂线交 $x$轴于点 $M$．设 $\mathit{\Delta BMP}$的面积为 $S$．

①直接写出 $S$关于 $a$的函数关系式及 $a$的取值范围；

②结合 $S$与 $a$的函数图象，直接写出 $S>\frac{1}{8}$时 $a$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，且线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-4x-5=0$的根，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp x$轴，垂足为 $E$， $\tan \angle \mathit{BAE}=\frac{4}{3}$，动点 $M$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，到达点 $B$停止．过点 $M$作 $x$轴的垂线，垂足为 $D$，以 $\mathit{MD}$为边作正方形 $\mathit{MDCF}$，点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上，设正方形 $\mathit{MDCF}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，点 $M$的运动时间为 $t(t>0)$秒．

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当点 $F$落在线段 $\mathit{OB}$上时，坐标平面内是否存在一点 $P$，使以 $M$、 $A$、 $O$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图是某同学正在设计的一动画示意图， $x$轴上依次有 $A$， $O$， $N$三个点，且 $\mathit{AO}=2$，在 $\mathit{ON}$上方有五个台阶 $T_1~T_5$（各拐角均为 $90°)$，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶 $T_1$到 $x$轴距离 $\mathit{OK}=10$．从点 $A$处向右上方沿抛物线 $L:y=-x^2+4x+12$发出一个带光的点 $P$．

（1）求点 $A$的横坐标，且在图中补画出 $y$轴，并直接指出点 $P$会落在哪个台阶上；

（2）当点 $P$落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 $L$形状相同的抛物线 $C$，且最大高度为11，求 $C$的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 $T_5$有交点；

（3）在 $x$轴上从左到右有两点 $D$， $E$，且 $\mathit{DE}=1$，从点 $E$向上作 $\mathit{EB}\perp x$轴，且 $\mathit{BE}=2$．在 $\mathit{\Delta BDE}$沿 $x$轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 $C$下落的点 $P$能落在边 $\mathit{BD}$（包括端点）上，则点 $B$横坐标的最大值比最小值大多少？

$[$注：（2）中不必写 $x$的取值范围 $]$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{BC}=6\sqrt{3}\mathit{cm}$ ， $\mathit{AC}=12\mathit{cm}$ ．点 $P$ 是 $\mathit{CA}$ 边上的一动点，点 $P$ 从点 $C$ 出发以每秒 $2\mathit{cm}$ 的速度沿 $\mathit{CA}$ 方向匀速运动，以 $\mathit{CP}$ 为边作等边 $\mathit{\Delta CPQ}$ （点 $B$ 、点 $Q$ 在 $\mathit{AC}$ 同侧），设点 $P$ 运动的时间为 $x$ 秒， $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

（1）当点 $Q$ 落在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示，不要求写 $x$ 的取值范围）；

（2）当点 $Q$ 落在 $\mathit{AB}$ 上时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ 的值；

（3）当点 $Q$ 落在 $\mathit{\Delta ABC}$ 外部时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示）．