初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．

（1）求证：；

（2）连接，，若，，，求的长．

在等腰直角中，，是线段上一动点（与点、不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点．

（1）若，求的大小（用含的式子表示）．

（2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，

（1）如图1， $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两点， $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ， $\angle \mathit{BAP}=20°$ ，求 $\angle \mathit{AQB}$ 的度数；

（2）点 $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧，且 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ，点 $Q$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点为 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{PM}$ ．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，始终有 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta APM}$ 是等边三角形；

想法2：在 $\mathit{BA}$ 上取一点 $N$ ，使得 $\mathit{BN}=\mathit{BP}$ ，要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta PCM}$ ；

想法3：将线段 $\mathit{BP}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ ，得到线段 $\mathit{BK}$ ，要证 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{PA}=\mathit{CK}$ ， $\mathit{PM}=\mathit{CK}\dots$

请你参考上面的想法，帮助小茹证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ （一种方法即可）．

如图，将正 $n$ 边形绕点 $A$ 顺时针旋转 $60°$ 后，发现旋转前后两图形有另一交点 $O$ ，连接 $\mathit{AO}$ ，我们称 $\mathit{AO}$ 为"叠弦"；再将"叠弦" $\mathit{AO}$ 所在的直线绕点 $A$ 逆时针旋转 $60°$ 后，交旋转前的图形于点 $P$ ，连接 $\mathit{PO}$ ，我们称 $\angle \mathit{OAB}$ 为"叠弦角"， $\mathit{\Delta AOP}$ 为"叠弦三角形"．

[探究证明]

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明："叠弦三角形" $\left(\mathit{\Delta AOP}\right)$ 是等边三角形；

（2）如图2，求证： $\angle \mathit{OAB}=\angle \mathit{OAE}\text{'}$ ．

[归纳猜想]

（3）图1、图2中的"叠弦角"的度数分别为 　   ， 　　；

（4）图 $n$ 中，"叠弦三角形" 　　等边三角形（填"是"或"不是" $)$

（5）图 $n$ 中，"叠弦角"的度数为 　　（用含 $n$ 的式子表示）

如图，点 $B$ ， $F$ ， $C$ ， $E$ 在直线 $l$ 上 $(F$ ， $C$ 之间不能直接测量），点 $A$ ， $D$ 在 $l$ 异侧，测得 $\mathit{AB}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{AC}=\mathit{DF}$ ， $\mathit{BF}=\mathit{EC}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$ ；

（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．

如图， $\angle \mathit{AOB}=120°$ ， $\mathit{OP}$ 平分 $\angle \mathit{AOB}$ ，且 $\mathit{OP}=2$ ．若点 $M$ ， $N$ 分别在 $\mathit{OA}$ ， $\mathit{OB}$ 上，且 $\mathit{\Delta PMN}$ 为等边三角形，则满足上述条件的 $\mathit{\Delta PMN}$ 有 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

3个以上

在中，，，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接．

（1）如图1，当是线段的中点时，设，，求的长（用含，的式子表示）；

（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

如图，已知四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，且E在D上．
（1）求∠AEB；
（2）求证：DE=CE．

如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF ②△ABE∽△ACD，③BE＋DC＞DE④BE²＋DC²=DE²，其中正确的有（  ）个

A．1           B．2            C．3        D．4

如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，已知点B的坐标是（，），则k的值为（   ）

A．10

B．8

C．6

D．4

如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为，四边形EFQP的面积为，四边形PQCB的面积为

（1）求证：EF＋PQ=BC
（2）若＋=，求的值
（3）若－=，直接写出的值

阅读：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线， D是BC边上的一点，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

（1）的值为          ；
（2）参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．

求的值；
若CD=2，求BP的长．

CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，
则BE_____CF；EF_____|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件__________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．

试判断△BMN的形状，并说明理由.

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点 H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．