初中数学全等三角形的判定与性质计算题

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$在 $x$轴上，点 $C$在 $y$轴的负半轴上，直线 $\mathit{BC}//\mathit{AD}$，且 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{OD}=2$，将经过 $A$、 $B$两点的直线 $l:y=-2x-10$向右平移，平移后的直线与 $x$轴交于点 $E$，与直线 $\mathit{BC}$交于点 $F$，设 $\mathit{AE}$的长为 $t(t⩾0)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为　      　；

（2）设四边形 $\mathit{ABCD}$被直线 $l$扫过的面积（阴影部分）为 $S$，请直接写出 $S$关于 $t$的函数解析式；

（3）当 $t=2$时，直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $P$，作 $\mathit{PM}\perp$直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$，将 $\mathit{\Delta PMF}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PTF}$，探究：是否存在点 $P$，使点 $T$恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，平面直角坐标系中， $O$为原点，点 $A$、 $B$分别在 $y$轴、 $x$轴的正半轴上． $\mathit{\Delta AOB}$的两条外角平分线交于点 $P$， $P$在反比例函数 $y=\frac{9}{x}$的图象上． $\mathit{PA}$的延长线交 $x$轴于点 $C$， $\mathit{PB}$的延长线交 $y$轴于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）求 $\angle P$的度数及点 $P$的坐标；

（2）求 $\mathit{\Delta OCD}$的面积；

（3） $\mathit{\Delta AOB}$的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=3$，动点 $P$从 $B$出发，以每秒1个单位的速度，沿射线 $\mathit{BC}$方向移动，作 $\mathit{\Delta PAB}$关于直线 $\mathit{PA}$的对称 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$．

①如图2，当点 $B\text{'}$落在 $\mathit{AC}$上时，显然 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$是直角三角形，求此时 $t$的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得 $\mathit{\Delta PCB}\text{'}$是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $t$的值？若不存在，请说明理由．

（2）当 $P$点不与 $C$点重合时，若直线 $\mathit{PB}\text{'}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $M$，且当 $t<3$时存在某一时刻有结论 $\angle \mathit{PAM}=45°$成立，试探究：对于 $t>3$的任意时刻，结论“ $\angle \mathit{PAM}=45°$”是否总是成立？请说明理由．

问题情境：如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$为边 $\mathit{BC}$上一点（不与点 $B$、 $C$重合），垂直于 $\mathit{AE}$的一条直线 $\mathit{MN}$分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CD}$于点 $M$、 $P$、 $N$．判断线段 $\mathit{DN}$、 $\mathit{MB}$、 $\mathit{EC}$之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足 $P$恰好为 $\mathit{AE}$的中点，连接 $\mathit{BD}$，交 $\mathit{MN}$于点 $Q$，连接 $\mathit{EQ}$，并延长交边 $\mathit{AD}$于点 $F$．求 $\angle \mathit{AEF}$的度数；

（2）如图3，当垂足 $P$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{BD}$上时，连接 $\mathit{AN}$，将 $\mathit{\Delta APN}$沿着 $\mathit{AN}$翻折，点 $P$落在点 $P^{\text{'}}$处，若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4， $\mathit{AD}$的中点为 $S$，求 $P^{\text{'}}S$的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $M$、 $N$分别为边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上的点，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿着 $\mathit{MN}$翻折，使得 $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$恰好经过点 $A$， $C^{\text{'}}N$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．分别过点 $A$、 $F$作 $\mathit{AG}\perp \mathit{MN}$， $\mathit{FH}\perp \mathit{MN}$，垂足分别为 $G$、 $H$．若 $\mathit{AG}=\frac{5}{2}$，请直接写出 $\mathit{FH}$的长．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线相交于点 $O$，点 $M$， $N$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上的动点（不与点 $B$， $C$， $D$重合）， $\mathit{AM}$， $\mathit{AN}$分别交 $\mathit{BD}$于点 $E$， $F$，且 $\angle \mathit{MAN}$始终保持 $45°$不变．

（1）求证： $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AM}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）求证： $\mathit{AF}\perp \mathit{FM}$；

（3）请探索：在 $\angle \mathit{MAN}$的旋转过程中，当 $\angle \mathit{BAM}$等于多少度时， $\angle \mathit{FMN}=\angle \mathit{BAM}$？写出你的探索结论，并加以证明．

（1）已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形，其底边是 $\mathit{BC}$，点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上， $E$是直线 $\mathit{BC}$上一点，且 $\angle \mathit{DEC}=\angle \mathit{DCE}$，若 $\angle A=60°$（如图①）．求证： $\mathit{EB}=\mathit{AD}$；

（2）若将（1）中的“点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上”改为“点 $D$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；

（3）若将（1）中的“若 $\angle A=60°$”改为“若 $\angle A=90°$”，其它条件不变，则 $\frac{\mathit{EB}}{\mathit{AD}}$的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $P$在射线 $\mathit{BC}$上（异于点 $B$、 $C)$，直线 $\mathit{AP}$与对角线 $\mathit{BD}$及射线 $\mathit{DC}$分别交于点 $F$、 $Q$

（1）若 $\mathit{BP}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，求 $\angle \mathit{BAP}$的度数；

（2）若点 $P$在线段 $\mathit{BC}$上，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $G$，当 $\mathit{\Delta FGC}\cong \mathit{\Delta QCP}$时，求 $\mathit{PC}$的长；

（3）以 $\mathit{PQ}$为直径作 $\odot M$．

①判断 $\mathit{FC}$和 $\odot M$的位置关系，并说明理由；

②当直线 $\mathit{BD}$与 $\odot M$相切时，直接写出 $\mathit{PC}$的长．