问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与

科目：数学
题型：计算题
难度：较难
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题文

问题情境：如图1，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 为边 $BC$ 上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），垂直于 $AE$ 的一条直线 $MN$ 分别交 $AB$ 、 $AE$ 、 $CD$ 于点 $M$ 、 $P$ 、 $N$ ．判断线段 $DN$ 、 $MB$ 、 $EC$ 之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足 $P$ 恰好为 $AE$ 的中点，连接 $BD$ ，交 $MN$ 于点 $Q$ ，连接 $EQ$ ，并延长交边 $AD$ 于点 $F$ ．求 $∠ AEF$ 的度数；

（2）如图3，当垂足 $P$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上时，连接 $AN$ ，将 $ΔAPN$ 沿着 $AN$ 翻折，点 $P$ 落在点 $P^{'}$ 处，若正方形 $ABCD$ 的边长为4， $AD$ 的中点为 $S$ ，求 $P^{'} S$ 的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形 $ABCD$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别为边 $AB$ 、 $CD$ 上的点，将正方形 $ABCD$ 沿着 $MN$ 翻折，使得 $BC$ 的对应边 $B^{'} C^{'}$ 恰好经过点 $A$ ， $C^{'} N$ 交 $AD$ 于点 $F$ ．分别过点 $A$ 、 $F$ 作 $AG ⊥ MN$ ， $FH ⊥ MN$ ，垂足分别为 $G$ 、 $H$ ．若 $AG = \frac{5}{2}$ ，请直接写出 $FH$ 的长．

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