初中数学全等三角形的判定与性质解答题

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$ ，垂足为 $D$ ，点 $E$ 为 $\mathit{AB}$ 边上一点，点 $F$ 为直线 $\mathit{BD}$ 上一点，连接 $\mathit{EF}$ ．

（1）将线段 $\mathit{EF}$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{EG}$ ，连接 $\mathit{FG}$ ．

①如图1，当点 $E$ 与点 $B$ 重合，且 $\mathit{GF}$ 的延长线过点 $C$ 时，连接 $\mathit{DG}$ ，求线段 $\mathit{DG}$ 的长；

②如图2，点 $E$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合， $\mathit{GF}$ 的延长线交 $\mathit{BC}$ 边于点 $H$ ，连接 $\mathit{EH}$ ，求证： $\mathit{BE}+\mathit{BH}=\sqrt{3}\mathit{BF}$ ；

（2）如图3，当点 $E$ 为 $\mathit{AB}$ 中点时，点 $M$ 为 $\mathit{BE}$ 中点，点 $N$ 在边 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{DN}=2\mathit{NC}$ ，点 $F$ 从 $\mathit{BD}$ 中点 $Q$ 沿射线 $\mathit{QD}$ 运动，将线段 $\mathit{EF}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{EP}$ ，连接 $\mathit{FP}$ ，当 $\mathit{NP}+\frac{1}{2}\mathit{MP}$ 最小时，直接写出 $\mathit{\Delta DPN}$ 的面积．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=20$ ， $\mathit{BC}=\mathit{DC}=10\sqrt{2}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta ADC}$ ；

（2）当 $\angle \mathit{BCA}=45°$ 时，求 $\angle \mathit{BAD}$ 的度数．

【推理】

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上一动点，将正方形沿着 $\mathit{BE}$ 折叠，点 $C$ 落在点 $F$ 处，连结 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ ，延长 $\mathit{CF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta CDG}$ ．

【运用】

（2）如图2，在【推理】条件下，延长 $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $H$ ．若 $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{HF}}=\frac{4}{5}$ ， $\mathit{CE}=9$ ，求线段 $\mathit{DE}$ 的长．

【拓展】

（3）将正方形改成矩形，同样沿着 $\mathit{BE}$ 折叠，连结 $\mathit{CF}$ ，延长 $\mathit{CF}$ ， $\mathit{BF}$ 交直线 $\mathit{AD}$ 于 $G$ ， $H$ 两点，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=k$ ， $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{HF}}=\frac{4}{5}$ ，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EC}}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{BD}$ 为直径， $\stackrel{̂}{\text{AD}}$ 上存在点 $E$ ，满足 $\widehat{A\text{E}}=\widehat{\text{CD}}$ ，连结 $\mathit{BE}$ 并延长交 $\mathit{CD}$ 的延长线于点 $F$ ， $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{AD}$ 交于点 $G$ ．

（1）若 $\angle \mathit{DBC}=\alpha$ ，请用含 $\alpha$ 的代数式表示 $\angle \mathit{AGB}$ ．

（2）如图2，连结 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{CE}=\mathit{BG}$ ．求证： $\mathit{EF}=\mathit{DG}$ ．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\mathit{CG}$ ， $\mathit{AD}=2$ ．

①若 $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\mathit{\Delta FGD}$ 的周长．

②求 $\mathit{CG}$ 的最小值．

【证明体验】

（1）如图1， $\mathit{AD}$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线， $\angle \mathit{ADC}=60°$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADB}$ ．

【思考探究】

（2）如图2，在（1）的条件下， $F$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连结 $\mathit{FC}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．若 $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ ， $\mathit{DG}=2$ ， $\mathit{CD}=3$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $\angle \mathit{BCA}=2\angle \mathit{DCA}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABC}$ ．若 $\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=2\sqrt{5}$ ， $\mathit{AD}=2\mathit{AE}$ ，求 $\mathit{AC}$ 的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}$ 是锐角， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的动点，将射线 $\mathit{AE}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ．

（1）当 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{EAF}=\angle \mathit{ABC}$ 时，

①求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ；

②连结 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{EF}$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BD}}=\frac{2}{5}$ ，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta AEF}}}{S_{\mathit{菱形}\mathit{ABCD}}}$ 的值；

（2）当 $\angle \mathit{EAF}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAD}$ 时，延长 $\mathit{BC}$ 交射线 $\mathit{AF}$ 于点 $M$ ，延长 $\mathit{DC}$ 交射线 $\mathit{AE}$ 于点 $N$ ，连结 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{MN}$ ，若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=2$ ，则当 $\mathit{CE}$ 为何值时， $\mathit{\Delta AMN}$ 是等腰三角形．

在扇形 $\mathit{AOB}$ 中，半径 $\mathit{OA}=6$ ，点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上，连结 $\mathit{PB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBP}$ 沿 $\mathit{PB}$ 折叠得到△ $O\text{'}\mathit{BP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle O=75°$ ，且 $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $\angle \mathit{APO}\text{'}$ 的度数．

②求 $\mathit{AP}$ 的长．

（2）如图2， $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，且 $\mathit{PD}//\mathit{OB}$ ，求 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的长．

小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形 $\mathit{ABCD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha ⩽90°)$ ，得到矩形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，连结 $\mathit{BD}$ ．

$[$ 探究 $1]$ 如图1，当 $\alpha =90°$ 时，点 $C\text{'}$ 恰好在 $\mathit{DB}$ 延长线上．若 $\mathit{AB}=1$ ，求 $\mathit{BC}$ 的长．

$[$ 探究 $2]$ 如图2，连结 $\mathit{AC}\text{'}$ ，过点 $D\text{'}$ 作 $D\text{'}M//\mathit{AC}\text{'}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $M$ ．线段 $D\text{'}M$ 与 $\mathit{DM}$ 相等吗？请说明理由．

$[$ 探究 $3]$ 在探究2的条件下，射线 $\mathit{DB}$ 分别交 $\mathit{AD}\text{'}$ ， $\mathit{AC}\text{'}$ 于点 $P$ ， $N$ （如图 $3)$ ，发现线段 $\mathit{DN}$ ， $\mathit{MN}$ ， $\mathit{PN}$ 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

已知在 $\mathit{\Delta ACD}$ 中， $P$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点， $B$ 是 $\mathit{AD}$ 延长线上的一点，连结 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{CAD}=60°$ ， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{AP}=\sqrt{3}$ ，求 $\mathit{BC}$ 的长．

（2）过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$ ，交 $\mathit{AP}$ 延长线于点 $E$ ，如图2所示，若 $\angle \mathit{CAD}=60°$ ， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$ ，求证： $\mathit{BC}=2\mathit{AP}$ ．

（3）如图3，若 $\angle \mathit{CAD}=45°$ ，是否存在实数 $m$ ，当 $\mathit{BD}=\mathit{mAC}$ 时， $\mathit{BC}=2\mathit{AP}$ ？若存在，请写出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

在① $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，② $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ ，③ $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}$ ，点 $D$ 在 $\mathit{AB}$ 边上（不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 边上（不与点 $A$ ，点 $C$ 重合），连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{CD}$ 相交于点 $F$ ．若 　 ① $\mathit{AD}=\mathit{AE}($ ② $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ 或 ③ $\mathit{FB}=\mathit{FC})$ 　，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CD}$ ．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BD}$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $E$ ．求证： $\angle \mathit{DAC}=\angle \mathit{CBD}$ ．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在边 $\mathit{BC}$ 上，点 $F$ 在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，且 $\mathit{BE}=\mathit{CF}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DCF}$ ；

（2）四边形 $\mathit{AEFD}$ 是平行四边形．