初中数学等腰三角形的性质试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以点 $C$为圆心， $\mathit{CB}$长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$于点 $B$和点 $D$，再分别以点 $B$， $D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{BD}$长为半径画弧，两弧相交于点 $M$，作射线 $\mathit{CM}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$．若 $\mathit{AE}=2$， $\mathit{BE}=1$，则 $\mathit{EC}$的长度是 $($　　 $)$

A．2B．3C． $\sqrt{3}$D． $\sqrt{5}$

如图，点 $A$， $B$， $C$均在 $\odot O$上，若 $\angle A=66°$，则 $\angle \mathit{OCB}$的度数是 $($　　 $)$

A． $24°$B． $28°$C． $33°$D． $48°$

请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：

（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=a$，将边 $\mathit{AB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$．求证： $\mathit{\Delta BCD}$的面积为 $\frac{1}{2}{a}^2$．（提示：过点 $D$作 $\mathit{BC}$边上的高 $\mathit{DE}$，可证 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta BDE}$）

（2）探究2：如图2，在一般的 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=a$，将边 $\mathit{AB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$．请用含 $a$的式子表示 $\mathit{\Delta BCD}$的面积，并说明理由．

（3）探究3：如图3，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BC}=a$，将边 $\mathit{AB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$．试探究用含 $a$的式子表示 $\mathit{\Delta BCD}$的面积，要有探究过程．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\odot O$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AE}=8$，求 $\mathit{BF}$的长．

已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 $x^2-6x+8=0$的根，则该三角形的周长为 $($　　 $)$

A．8B．10C．8或10D．12

等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点 $A(-6,0)$ ，点 $B$ 在原点， $\mathit{CA}=\mathit{CB}=5$ ，把等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 沿 $x$ 轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置② $\dots$ 依此规律，第15次翻转后点 $C$ 的横坐标是 　         　．

如图， $\mathit{AB}//\mathit{CE}$ ， $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{CE}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ， $\angle F=20°$ ，则 $\angle B$ 的度数为 　           　．

已知：如图， $\angle \mathit{ABC}$，射线 $\mathit{BC}$上一点 $D$．

求作：等腰 $\mathit{\Delta PBD}$，使线段 $\mathit{BD}$为等腰 $\mathit{\Delta PBD}$的底边，点 $P$在 $\angle \mathit{ABC}$内部，且点 $P$到 $\angle \mathit{ABC}$两边的距离相等．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形， $O$是底边 $\mathit{BC}$的中点，腰 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $D$， $\mathit{OB}$与 $\odot O$相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=1$．求阴影部分的面积．

如图，若 $\mathit{\Delta ABC}$内一点 $P$满足 $\angle \mathit{PAC}=\angle \mathit{PCB}=\angle \mathit{PBA}$，则称点 $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$， $\angle \mathit{ACB}=120°$， $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$的布罗卡尔点，若 $\mathit{PA}=\sqrt{3}$，则 $\mathit{PB}+\mathit{PC}=$　　．

如图， $▱\mathit{ABCD}$中， $\angle B=70°$， $\mathit{BC}=6$，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{CD}$于点 $E$，则 $\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{3}\pi$B． $\frac{2}{3}\pi$C． $\frac{7}{6}\pi$D． $\frac{4}{3}\pi$

某城市几条道路的位置关系如图所示，已知 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{AB}$的夹角为 $48°$，若 $\mathit{CF}$与 $\mathit{EF}$的长度相等，则 $\angle C$的度数为 $($　　 $)$

A． $48°$B． $40°$C． $30°$D． $24°$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，点 $E$是边 $\mathit{CD}$上一点，且 $\mathit{BC}=\mathit{EC}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$， $P$是 $\mathit{EB}$延长线上一点，下列结论：

① $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{CBF}$；② $\mathit{CF}$平分 $\angle \mathit{DCB}$；③ $\mathit{BC}=\mathit{FB}$；④ $\mathit{PF}=\mathit{PC}$．

其中正确结论的个数为 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$切 $\odot O$于点 $A$，连接 $\mathit{PO}$并延长交 $\odot O$于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}=10$， $\angle P=30°$，则 $\mathit{AC}$的长度是 $($　　 $)$

A． $5\sqrt{3}$B． $5\sqrt{2}$C．5D． $\frac{5}{2}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为 $\mathit{BC}$上一点，且 $\mathit{DA}=\mathit{DC}$， $\mathit{BD}=\mathit{BA}$，则 $\angle B$的大小为 $($　　 $)$

A． $40°$B． $36°$C． $30°$D． $25°$