初中数学等腰三角形的判定与性质试题

如图，射线 $\mathit{AB}$ 和射线 $\mathit{CB}$ 相交于点 $B$ ， $\angle \mathit{ABC}=\alpha (0°<\alpha <180°)$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{CB}$ ．点 $D$ 是射线 $\mathit{CB}$ 上的动点（点 $D$ 不与点 $C$ 和点 $B$ 重合），作射线 $\mathit{AD}$ ，并在射线 $\mathit{AD}$ 上取一点 $E$ ，使 $\angle \mathit{AEC}=\alpha$ ，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）如图①，当点 $D$ 在线段 $\mathit{CB}$ 上， $\alpha =90°$ 时，请直接写出 $\angle \mathit{AEB}$ 的度数；

（2）如图②，当点 $D$ 在线段 $\mathit{CB}$ 上， $\alpha =120°$ 时，请写出线段 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CE}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ ， $\tan \angle \mathit{DAB}=\frac{1}{3}$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{BE}}$ 的值．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CE}$ ，点 $G$ 在线段 $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{CG}=\mathit{CA}$ ， $\mathit{GF}=\mathit{DE}$ ， $\angle \mathit{AFG}=\angle \mathit{CDE}$ ．

（1）填空：与 $\angle \mathit{CAG}$ 相等的角是 　　；

（2）用等式表示线段 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BD}$ 的数量关系，并证明；

（3）若 $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{ACD}$ （如图 $2)$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AB}}$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ ，点 $D$ 在 $\odot O$ 上， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ ， $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ， $\mathit{AF}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，与 $\mathit{BC}$ 延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ．

（2）若 $\mathit{EF}=12$ ， $\sin \angle \mathit{ABF}=\frac{3}{5}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ADC}=60°$，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{AE}=\mathit{DF}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{CE}$相交于点 $G$， $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $H$．下列结论：① $\mathit{\Delta ACF}\cong \mathit{\Delta CDE}$；② $C{G}^2=\mathit{GH}·\mathit{BG}$；③若 $\mathit{DF}=2\mathit{CF}$，则 $\mathit{CE}=7\mathit{GF}$；④ $S_{\mathit{四边形}\mathit{ABCG}}=\frac{\sqrt{3}}{4}B{G}^2$．其中正确的结论有　   　．（只填序号即可）

如图，在 $\odot O$ 中，点 $P$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的中点，弦 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PC}$ 互相垂直，垂足为 $M$ ， $\mathit{BC}$ 分别与 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PD}$ 相交于点 $E$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{MN}$ ．

（1）求证： $N$ 为 $\mathit{BE}$ 的中点．

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的度数为 $90°$ ，求线段 $\mathit{MN}$ 的长．

初步尝试

（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为　   　；

思考说理

（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；

拓展延伸

（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．

①求线段的长；

②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 和点 $D$ 的圆，圆心 $O$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上， $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．

（1）判断 $\mathit{BC}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AD}=8$ ， $\mathit{AE}=10$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ，点 $O$ 在 $\mathit{AC}$ 上，以 $\mathit{OA}$ 为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线 $\mathit{DF}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}=\mathit{DF}$ ；

（2）若 $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CF}=1$ ，求半圆 $O$ 的半径长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，以斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线 $\mathit{CD}$ 为直径作 $\odot O$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $\mathit{AB}$ 的另一个交点为 $E$ ，过 $M$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的直径为5， $\sin B=\frac{3}{5}$ ，求 $\mathit{ED}$ 的长．

匈牙利著名数学家爱尔特希．，曾提出：在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点、、、、构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则的度数是　　．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，直线 $\mathit{AM}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，直线 $\mathit{BN}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$ ，点 $C$ （异于点 $A)$ 在 $\mathit{AM}$ 上，点 $D$ 在 $\odot O$ 上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，延长 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BN}$ 相交于点 $E$ ，连接 $\mathit{AD}$ 并延长交 $\mathit{BN}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $\mathit{BE}=\mathit{EF}$ ；

（3）如图2，连接 $\mathit{EO}$ 并延长与 $\odot O$ 分别相交于点 $G$ 、 $H$ ，连接 $\mathit{BH}$ ．若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AC}=4$ ，求 $\tan \angle \mathit{BHE}$ ．

如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的值．

如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为　 　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\mathit{CD}$ 为斜边 $\mathit{AB}$ 的中线，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ 于点 $E$ ，延长 $\mathit{DE}$ 至点 $F$ ，使 $\mathit{EF}=\mathit{DE}$ ，连接 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{CF}$ ，点 $G$ 在线段 $\mathit{CF}$ 上，连接 $\mathit{EG}$ ，且 $\angle \mathit{CDE}+\angle \mathit{EGC}=180°$ ， $\mathit{FG}=2$ ， $\mathit{GC}=3$ ．下列结论：

① $\mathit{DE}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$ ；

②四边形 $\mathit{DBCF}$ 是平行四边形；

③ $\mathit{EF}=\mathit{EG}$ ；

④ $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$ ．

其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）如图，点，分别在线段，上（点不与点，重合），且，，直接写出线段的长．