初中数学等边三角形的判定与性质试题

如图， $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $A$， $B$为切点，连接 $\mathit{AO}$并延长，交 $\mathit{PB}$的延长线于点 $C$，连接 $\mathit{PO}$，交 $\odot O$于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{PO}$平分 $\angle \mathit{APC}$；

（2）连接 $\mathit{DB}$，若 $\angle C=30°$，求证： $\mathit{DB}//\mathit{AC}$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{BAC}=30°$， $E$为 $\mathit{AB}$边的中点，以 $\mathit{BE}$为边作等边 $\mathit{\Delta BDE}$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CDB}$；

（2）若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，在 $\mathit{AC}$边上找一点 $H$，使得 $\mathit{BH}+\mathit{EH}$最小，并求出这个最小值．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\mathit{AC}=2$， $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得△ $A_1{B}_{1}C$，当 $A_1$落在 $\mathit{AB}$边上时，连接 $B_{1}B$，取 $B{B}_1$的中点 $D$，连接 $A_{1}D$，则 $A_{1}D$的长度是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{7}$B． $2\sqrt{2}$C．3D． $2\sqrt{3}$

如图， $▱\mathit{ABCD}$的顶点 $C$在等边 $\mathit{\Delta BEF}$的边 $\mathit{BF}$上，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $G$为 $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{CG}$．若 $\mathit{AD}=3$， $\mathit{AB}=\mathit{CF}=2$，则 $\mathit{CG}$的长为　　．

已知：如图， $\mathit{AM}$为 $\odot O$的切线， $A$为切点，过 $\odot O$上一点 $B$作 $\mathit{BD}\perp \mathit{AM}$于点 $D$， $\mathit{BD}$交 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{OC}$平分 $\angle \mathit{AOB}$．

（1）求 $\angle \mathit{AOB}$的度数；

（2）当 $\odot O$的半径为 $2\mathit{cm}$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ECD}$都是等边三角形，且点 $B$、 $C$、 $D$在一条直线上，连结 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AD}$，点 $M$、 $N$分别是线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AD}$上的两点，且 $\mathit{BM}=\frac{1}{3}\mathit{BE}$， $\mathit{AN}=\frac{1}{3}\mathit{AD}$，则 $\mathit{\Delta CMN}$的形状是 $($　　 $)$

A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形

如图， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta CDE}$是等边三角形，连接 $\mathit{AD}$，取 $\mathit{AD}$的中点 $P$，连接 $\mathit{BP}$并延长至点 $M$，使 $\mathit{PM}=\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AM}$， $\mathit{EM}$， $\mathit{AE}$，将 $\mathit{\Delta CDE}$绕点 $C$顺时针旋转．

（1）如图1，当点 $D$在 $\mathit{BC}$上，点 $E$在 $\mathit{AC}$上时，则 $\mathit{\Delta AEM}$的形状为　　；

（2）将 $\mathit{\Delta CDE}$绕点 $C$顺时针旋转至图2的位置，请判断 $\mathit{\Delta AEM}$的形状，并说明理由；

（3）若 $\mathit{CD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，将 $\mathit{\Delta CDE}$由图1位置绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <360°)$，当 $\mathit{ME}=\sqrt{3}\mathit{CD}$时，请直接写出 $\alpha$的值．

在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$， $\mathit{DA}=\mathit{DE}$．且 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=\alpha$，点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，连接 $\mathit{EC}$， $\mathit{EB}$和 $\mathit{BD}$，并且 $\angle \mathit{ACE}+\angle \mathit{ABE}=90°$．

（1）如图①，当 $\alpha =60°$时，线段 $\mathit{BD}$与 $\mathit{CE}$的数量关系为　　，线段 $\mathit{EA}$， $\mathit{EB}$， $\mathit{EC}$的数量关系为　　；

（2）如图②，当 $\alpha =90°$时，请写出线段 $\mathit{EA}$， $\mathit{EB}$， $\mathit{EC}$的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，当点 $E$在线段 $\mathit{CD}$上时，若 $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$，请直接写出 $\mathit{\Delta BDE}$的面积．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$、 $D$为 $\odot O$上的两点， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAC}$，过点 $C$作直线 $\mathit{EF}\perp \mathit{AD}$，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $E$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{DE}=1$， $\mathit{BC}=2$，求劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长 $l$．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为点 $E$， $F$，延长 $\mathit{BD}$至 $G$，使得 $\mathit{DG}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{FG}$，若 $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，则 $\frac{\mathit{EG}}{\mathit{AB}}=$　　．

如图，正六边形 $\mathit{ABCDEF}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BE}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{BF}$，延长 $\mathit{BA}$，过 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{BA}$，垂足为 $G$．

（1）求证： $\mathit{FG}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\mathit{FG}=2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形， $\mathit{AB}=2$， $\angle \mathit{DAB}=60°$，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{DC}$、 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{CE}=\frac{1}{3}\mathit{CD}$， $\mathit{CF}=\frac{1}{3}\mathit{CB}$，则 $S_{\mathit{\Delta CEF}}=($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$D． $\frac{\sqrt{3}}{9}$

如图，在菱形 $\mathit{OABC}$中， $\mathit{OB}$是对角线， $\mathit{OA}=\mathit{OB}=2$， $\odot O$与边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$，则图中阴影部分的面积为　   　．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为点 $E$， $F$，延长 $\mathit{BD}$至 $G$，使得 $\mathit{DG}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{FG}$，若 $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，则 $\frac{\mathit{EG}}{\mathit{AB}}=$　　．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$是 $\odot O$上一点，连接 $\mathit{OP}$，点 $A$关于 $\mathit{OP}$的对称点 $C$恰好落在 $\odot O$上．

（1）求证： $\mathit{OP}//\mathit{BC}$；

（2）过点 $C$作 $\odot O$的切线 $\mathit{CD}$，交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $D$．如果 $\angle D=90°$， $\mathit{DP}=1$，求 $\odot O$的直径．