初中数学等边三角形的判定与性质试题

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$为圆上一点，点 $C$为 $\mathit{AB}$延长线上一点， $\mathit{PA}=\mathit{PC}$， $\angle C=30°$．

（1）求证： $\mathit{CP}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\odot O$的直径为8，求阴影部分的面积．

如图1， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AC}$是一条弦， $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，连结 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，且 $\mathit{AF}=\mathit{FG}$．

（1）求证：点 $D$平分 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$；

（2）如图2所示，延长 $\mathit{BA}$至点 $H$，使 $\mathit{AH}=\mathit{AO}$，连结 $\mathit{DH}$．若点 $E$是线段 $\mathit{AO}$的中点．求证： $\mathit{DH}$是 $\odot O$的切线．

如图， $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $O$， $\mathit{AB}=\mathit{CD}$， $\angle \mathit{AOC}=60°$， $\angle \mathit{ACD}+\angle \mathit{ABD}=210°$，则线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$之间的等量关系式为　　．

如图，点 $A$、 $B$、 $C$都在 $\odot O$上， $\mathit{OC}\perp \mathit{OB}$，点 $A$在劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上，且 $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，则 $\angle \mathit{ABC}=$　　．

如图，点 $D$是等边三角形 $\mathit{ABC}$外接圆的 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上一点（与点 $B$， $C$不重合）， $\mathit{BE}//\mathit{DC}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}$是等边三角形；

（2）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CBD}$；

（3）如果 $\mathit{BD}=2$， $\mathit{CD}=1$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的边长．

如图，点 $A$、 $B$、 $C$在 $\odot O$上， $\mathit{BC}=6$， $\angle \mathit{BAC}=30°$，则 $\odot O$的半径为　     　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\odot D$经过点 $A$和点 $B$且与 $\mathit{BC}$边相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot D$的切线；

（2）若 $\mathit{CE}=2\sqrt{3}$，求 $\odot D$的半径．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AC}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{FN}$ ， $\mathit{EM}$ ．则下列结论：

① $\mathit{DN}=\mathit{BM}$ ；

② $\mathit{EM}//\mathit{FN}$ ；

③ $\mathit{AE}=\mathit{FC}$ ；

④当 $\mathit{AO}=\mathit{AD}$ 时，四边形 $\mathit{DEBF}$ 是菱形．

其中，正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $F$在 $\mathit{AD}$上，点 $E$在 $\mathit{BC}$上，把这个矩形沿 $\mathit{EF}$折叠后，使点 $D$恰好落在 $\mathit{BC}$边上的 $G$点处，若矩形面积为 $4\sqrt{3}$且 $\angle \mathit{AFG}=60°$， $\mathit{GE}=2\mathit{BG}$，则折痕 $\mathit{EF}$的长为 $($　　 $)$

A．1B． $\sqrt{3}$C．2D． $2\sqrt{3}$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形， $\mathit{AB}=2$， $\angle \mathit{DAB}=60°$，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{DC}$、 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{CE}=\frac{1}{3}\mathit{CD}$， $\mathit{CF}=\frac{1}{3}\mathit{CB}$，则 $S_{\mathit{\Delta CEF}}=($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$D． $\frac{\sqrt{3}}{9}$

如图，在菱形 $\mathit{OABC}$中， $\mathit{OB}$是对角线， $\mathit{OA}=\mathit{OB}=2$， $\odot O$与边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$，则图中阴影部分的面积为　   　．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为点 $E$， $F$，延长 $\mathit{BD}$至 $G$，使得 $\mathit{DG}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{FG}$，若 $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，则 $\frac{\mathit{EG}}{\mathit{AB}}=$　　．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$是 $\odot O$上一点，连接 $\mathit{OP}$，点 $A$关于 $\mathit{OP}$的对称点 $C$恰好落在 $\odot O$上．

（1）求证： $\mathit{OP}//\mathit{BC}$；

（2）过点 $C$作 $\odot O$的切线 $\mathit{CD}$，交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $D$．如果 $\angle D=90°$， $\mathit{DP}=1$，求 $\odot O$的直径．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的周长是 $4\mathit{cm}$， $\angle \mathit{ABC}=60°$，那么这个菱形的对角线 $\mathit{AC}$的长是 $($　　 $)$

A． $1\mathit{cm}$B． $2\mathit{cm}$C． $3\mathit{cm}$D． $4\mathit{cm}$

由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架 $\mathit{ABCDEF}$，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为 $\mathit{AB}=\mathit{DE}=1$米， $\mathit{BC}=\mathit{CD}=\mathit{EF}=\mathit{FA}=2$米．（铰接点长度忽略不计）

（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点 $A$， $E$之间的距离是　　米．

（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有 $\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=120°$，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是　　米．