初中数学三角形中位线定理试题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AC}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $B$为切点， $\mathit{OP}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $E$，交 $\odot O$于 $D$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{PBC}$；

（2）若 $\odot O$的半径为1， $\mathit{PD}=3\mathit{DE}$，求 $\mathit{OE}$及 $\mathit{AB}$的长．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $E$为 $\mathit{BC}$上一点， $\mathit{CE}=5$， $F$为 $\mathit{DE}$的中点．若 $\mathit{\Delta CEF}$的周长为18，则 $\mathit{OF}$的长为　        　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为 $\mathit{\Delta ABC}$内一点，连接 $\mathit{AD}$，将线段 $\mathit{AD}$绕点 $A$旋转至 $\mathit{AE}$，使得 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{BAC}$， $F$， $G$， $H$分别为 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{GF}$， $\mathit{GH}$．

（1）求证： $\mathit{GH}=\mathit{GF}$；

（2）试说明 $\angle \mathit{FGH}$与 $\angle \mathit{BAC}$互补．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为 $\mathit{\Delta ABC}$内一点，连接 $\mathit{AD}$，将线段 $\mathit{AD}$绕点 $A$旋转至 $\mathit{AE}$，使得 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{BAC}$， $F$， $G$， $H$分别为 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{GF}$， $\mathit{GH}$．

（1）求证： $\mathit{GH}=\mathit{GF}$；

（2）试说明 $\angle \mathit{FGH}$与 $\angle \mathit{BAC}$互补．

如图，点 $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$内一点，连接 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OC}$，并将 $\mathit{AB}$、 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OC}$、 $\mathit{AC}$的中点 $D$、 $E$、 $F$、 $G$依次连接，得到四边形 $\mathit{DEFG}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{DEFG}$是平行四边形；

（2）若 $M$为 $\mathit{EF}$的中点， $\mathit{OM}=3$， $\angle \mathit{OBC}$和 $\angle \mathit{OCB}$互余，求 $\mathit{DG}$的长度．

如图， $\mathit{AB}$是 $\mathit{\odot }\mathit{O}$的直径， $\mathit{C}$， $\mathit{D}$是 $\mathit{\odot }\mathit{O}$上的点，且 $\mathit{OC}\mathit{/}\mathit{/}\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$分别与 $\mathit{BC}$， $\mathit{OC}$相交于点 $\mathit{E}$， $\mathit{F}$，则下列结论：

① $\mathit{AD}\mathit{\perp }\mathit{BD}$；② $\mathit{\angle }\mathit{AOC}\mathit{=}\mathit{\angle }\mathit{AEC}$；③ $\mathit{BC}$平分 $\mathit{\angle }\mathit{ABD}$；④ $\mathit{AF}\mathit{=}\mathit{DF}$；⑤ $\mathit{BD}\mathit{=}\mathit{2}\mathit{OF}$；⑥ $\mathit{\Delta CEF}\mathit{\cong }\mathit{\Delta BED}$，其中一定成立的是 $\mathit{(}$　　 $\mathit{)}$

A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点，以 $\mathit{CE}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，连接 $\mathit{DO}$，且 $\angle \mathit{DOC}=90°$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{DF}=2$， $\mathit{DC}=6$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $M$、 $N$分别为边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{MN}$．若 $\mathit{MN}=1$， $\mathit{BD}=2\sqrt{3}$，则菱形的周长为　　．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ，点 $D$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ，点 $M$ 在 $\mathit{DE}$ 上，且 $\mathit{ME}=\frac{1}{3}\mathit{DM}$ ．当 $\mathit{AM}\perp \mathit{BM}$ 时，则 $\mathit{BC}$ 的长为 　          　．

菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 边上的中点，连接 $\mathit{EF}$ ．若 $\mathit{EF}=\sqrt{2}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，则菱形 $\mathit{ABCD}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$2\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

$6\sqrt{2}$

D．

$8\sqrt{2}$

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=6$，点 $D$是 $\mathit{AB}$的中点，过 $\mathit{AC}$的中点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，则 $\mathit{EF}=$　    　．

（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片， $\angle B=90°$，小明想从中剪出一个以 $\angle B$为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 $\mathit{DE}$、 $\mathit{EF}$剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　     　．

（拓展应用）

如图②，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=a$， $\mathit{BC}$边上的高 $\mathit{AD}=h$，矩形 $\mathit{PQMN}$的顶点 $P$、 $N$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上，顶点 $Q$、 $M$在边 $\mathit{BC}$上，则矩形 $\mathit{PQMN}$面积的最大值为　    　．（用含 $a$， $h$的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形” $\mathit{ABCDE}$， $\mathit{AB}=32$， $\mathit{BC}=40$， $\mathit{AE}=20$， $\mathit{CD}=16$，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ $\angle B$为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料 $\mathit{ABCD}$，经测量 $\mathit{AB}=50\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=108\mathit{cm}$， $\mathit{CD}=60\mathit{cm}$，且 $\tan B=\tan C=\frac{4}{3}$，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 $M$、 $N$在边 $\mathit{BC}$上且面积最大的矩形 $\mathit{PQMN}$，求该矩形的面积．

$\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$、 $E$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{DE}=7$，则 $\mathit{BC}=$　      　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$， $F$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CA}$的中点，若 $\mathit{CD}=2$，则线段 $\mathit{EF}$的长是　    　．

如图所示， $\mathit{DE}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中位线，若 $\mathit{BC}=8$，则 $\mathit{DE}=$　     　．