如图所示,抛物线 与 轴相交于 、 两点,与 轴相交于点 ,点 为抛物线的顶点.
(1)求点 及顶点 的坐标.
(2)若点 是第四象限内抛物线上的一个动点,连接 、 ,求 面积的最大值及此时点 的坐标.
(3)若点 是抛物线对称轴上的动点,点 是抛物线上的动点,是否存在以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点 的坐标;若不存在,试说明理由.
(4)直线 交 轴于点 ,若点 是线段 上的一个动点,是否存在以点 、 、 为顶点的三角形与 相似.若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图所示,拋物线与
轴交于
、
两点,与
轴交于点
,且点
的坐标为
,点
的坐标为
,对称轴为直线
.点
是抛物线上一个动点,设点
的横坐标为
,连接
,
,
,
.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当的面积等于
的面积的
时,求
的值;
(3)在(2)的条件下,若点是
轴上一动点,点
是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点
,使得以点
,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线
与
轴相交于
、
两点(点
在点
的左侧),与
轴交于点
.
(1)点的坐标为 ,点
的坐标为 ,线段
的长为 ,抛物线的解析式为 .
(2)点是线段
下方抛物线上的一个动点.
①如果在轴上存在点
,使得以点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形.求点
的坐标.
②如图2,过点作
交线段
于点
,过点
作直线
交
于点
,交
轴于点
,记
,求
关于
的函数解析式;当
取
和
时,试比较
的对应函数值
和
的大小.
如图,在平面直角坐标系中,直线与
轴交于点
,与
轴交于点
,抛物线
经过
,
两点且与
轴的负半轴交于点
.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点为直线
上方抛物线上的一个动点,当
时,求点
的坐标;
(3)已知,
分别是直线
和抛物线上的动点,当以
,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出所有符合条件的
点的坐标.
如图,抛物线与
轴交于
、
两点
在
的左侧),与
轴交于点
,过
点的直线
与
轴交于点
,与抛物线
的另一个交点为
,已知
,
,
点为抛物线
上一动点(不与
、
重合).
(1)求抛物线和直线的解析式;
(2)当点在直线
上方的抛物线上时,过
点作
轴交直线
于点
,作
轴交直线
于点
,求
的最大值;
(3)设为直线
上的点,探究是否存在点
,使得以点
、
,
、
为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在平行四边形中,点
是
的中点,点
是
边上的点,
,平行四边形
的面积为
,由
、
、
三点确定的圆的周长为
.
(1)若的面积为30,直接写出
的值;
(2)求证:平分
;
(3)若,
,
,求
的值.
综合与探究
如图,抛物线经过点
,
两点,与
轴交于点
,点
是抛物线上一个动点,设点
的横坐标为
.连接
,
,
,
.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)的面积等于
的面积的
时,求
的值;
(3)在(2)的条件下,若点是
轴上一动点,点
是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点
,使得以点
,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
问题提出
(1)如图1,在 中, , , , 是 的中点,点 在 上,且 ,求四边形 的面积.(结果保留根号)
问题解决
(2)某市进行河滩治理,优化美化人居生态环境.如图2所示,现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园 .按设计要求,要在五边形河畔公园 内挖一个四边形人工湖 ,使点 、 、 、 分别在边 、 、 、 上,且满足 , .已知五边形 中, , , , , .为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要,想让人工湖面积尽可能小.请问,是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 ?若存在,求四边形 面积的最小值及这时点 到点 的距离;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中, 的边 在 轴上, ,且线段 的长是方程 的根,过点 作 轴,垂足为 , ,动点 以每秒1个单位长度的速度,从点 出发,沿线段 向点 运动,到达点 停止.过点 作 轴的垂线,垂足为 ,以 为边作正方形 ,点 在线段 上,设正方形 与 重叠部分的面积为 ,点 的运动时间为 秒.
(1)求点 的坐标;
(2)求 关于 的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;
(3)当点 落在线段 上时,坐标平面内是否存在一点 ,使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
试题篮
()