初中数学矩形的性质试题

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{BC}$上一点，连接 $\mathit{AE}$，将矩形沿 $\mathit{AE}$翻折，使点 $B$落在 $\mathit{CD}$边 $F$处，连接 $\mathit{AF}$，在 $\mathit{AF}$上取点 $O$，以 $O$为圆心， $\mathit{OF}$长为半径作 $\odot O$与 $\mathit{AD}$相切于点 $P$．若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=3\sqrt{3}$，则下列结论：① $F$是 $\mathit{CD}$的中点；② $\odot O$的半径是2；③ $\mathit{AE}=\frac{9}{2}\mathit{CE}$；④ $S_{\mathit{阴影}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．其中正确结论的序号是　　．

如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形 $\mathit{ABCD}$，再沿 $\angle \mathit{ADC}$的平分线 $\mathit{DE}$折叠，如图2，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，最后按图3所示方式折叠，使点 $A$落在 $\mathit{DE}$的中点 $A\text{'}$处，折痕是 $\mathit{FG}$，若原正方形纸片的边长为 $6\mathit{cm}$，则 $\mathit{FG}=$　　 $\mathit{cm}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AB}:\mathit{BC}=3:2$，过点 $B$作 $\mathit{BE}//\mathit{AC}$，过点 $C$作 $\mathit{CE}//\mathit{DB}$， $\mathit{BE}$、 $\mathit{CE}$交于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，则 $\tan \angle \mathit{EDC}=($　　 $)$

A． $\frac{2}{9}$B． $\frac{1}{4}$C． $\frac{\sqrt{2}}{6}$D． $\frac{3}{10}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$，点 $P$是矩形 $\mathit{ABCD}$内一动点，且 $S_{\mathit{\Delta PAB}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta PCD}}$，则 $\mathit{PC}+\mathit{PD}$的最小值为　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AB}:\mathit{BC}=2:1$，且 $\mathit{BE}//\mathit{AC}$， $\mathit{CE}//\mathit{DB}$，连接 $\mathit{DE}$，则 $\tan \angle \mathit{EDC}=($　　 $)$

A． $\frac{1}{4}$B． $\frac{1}{6}$C． $\frac{\sqrt{2}}{6}$D． $\frac{3}{10}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$． $M$、 $N$在对角线 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{CN}$， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta CDN}$；

（2）点 $G$是对角线 $\mathit{AC}$上的点， $\angle \mathit{EGF}=90°$，求 $\mathit{AG}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=5$， $\mathit{CD}=4$，点 $E$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{BE}=3$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DFA}$；

（2）连接 $\mathit{CF}$，求 $\sin \angle \mathit{DCF}$的值；

（3）连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{DF}$于点 $G$，求 $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{GC}}$的值．

矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=8$，点 $M$在对角线 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AM}:\mathit{MC}=2:3$，过点 $M$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$．在 $\mathit{AC}$上取一点 $P$，使 $\angle \mathit{MEP}=\angle \mathit{EAC}$，则 $\mathit{AP}$的长为　　．

如图， $E$为矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$上一点，将矩形沿 $\mathit{CE}$折叠，使点 $B$恰好落在 $\mathit{ED}$上的点 $F$处，若 $\mathit{BE}=1$， $\mathit{BC}=3$，则 $\mathit{CD}$的长为 $($　　 $)$

A．6B．5C．4D．3

综合与实践

折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．

在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．

实践操作

如图1，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$翻折，使点 $B\text{'}$落在矩形 $\mathit{ABCD}$所在平面内， $B^{\text{'}}C$和 $\mathit{AD}$相交于点 $E$，连接 $B\text{'}D$．

解决问题

（1）在图1中，

① $B\text{'}D$和 $\mathit{AC}$的位置关系为　　；

②将 $\mathit{\Delta AEC}$剪下后展开，得到的图形是　　；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时 $(\mathit{AB}\ne \mathit{BC})$，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　；

拓展应用

（4）在图2中，若 $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$，当△ $\mathit{AB}\text{'}D$恰好为直角三角形时， $\mathit{BC}$的长度为　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\angle \mathit{DCA}=30°$，点 $F$是对角线 $\mathit{AC}$上的一个动点，连接 $\mathit{DF}$，以 $\mathit{DF}$为斜边作 $\angle \mathit{DFE}=30°$的直角三角形 $\mathit{DEF}$，使点 $E$和点 $A$位于 $\mathit{DF}$两侧，点 $F$从点 $A$到点 $C$的运动过程中，点 $E$的运动路径长是　　．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，折痕为 $\mathit{EF}$， $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}C\text{'}$与 $\mathit{CD}$交于点 $M$，若 $\angle B\text{'}\mathit{MD}=50°$，则 $\angle \mathit{BEF}$的度数为　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$， $B$在 $x$轴上，且关于 $y$轴对称，反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}(x>0)$的图象经过点 $C$，反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(x<0)$的图象分别与 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$交于点 $E$， $F$，若 $S_{\mathit{\Delta BEF}}=7$， $k_1+3k_2=0$，则 $k_1$等于　　．

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，将 $\mathit{\Delta CDP}$沿 $\mathit{DP}$折叠，点 $C$落在点 $E$处， $\mathit{PE}$、 $\mathit{DE}$分别交 $\mathit{AB}$于点 $O$、 $F$，且 $\mathit{OP}=\mathit{OF}$，则 $\cos \angle \mathit{ADF}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{11}{13}$B． $\frac{13}{15}$C． $\frac{15}{17}$D． $\frac{17}{19}$