初中数学矩形的性质试题

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的斜边 $\mathit{AB}$在 $y$轴上，边 $\mathit{AC}$与 $x$轴交于点 $D$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交边 $\mathit{BC}$于点 $E$，经过点 $A$、 $D$、 $E$的圆的圆心 $F$恰好在 $y$轴上， $\odot F$与 $y$轴相交于另一点 $G$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot F$的切线；

（2）若点 $A$、 $D$的坐标分别为 $A(0,-1)$， $D(2,0)$，求 $\odot F$的半径；

（3）试探究线段 $\mathit{AG}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABD}$、 $\angle \mathit{CDB}$的平分线 $\mathit{BE}$、 $\mathit{DF}$分别交边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $F$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BEDF}$是平行四边形；

（2）当 $\angle \mathit{ABE}$为多少度时，四边形 $\mathit{BEDF}$是菱形？请说明理由．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=3$，点 $Q$在对角线 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AQ}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{DQ}$并延长，与边 $\mathit{BC}$交于点 $P$，则线段 $\mathit{AP}=$　    　．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=2$，分别以边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$为直径在矩形 $\mathit{ABCD}$的内部作半圆 $O_1$和半圆 $O_2$，一平行于 $\mathit{AB}$的直线 $\mathit{EF}$与这两个半圆分别交于点 $E$、点 $F$，且 $\mathit{EF}=2(\mathit{EF}$与 $\mathit{AB}$在圆心 $O_1$和 $O_2$的同侧），则由 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$， $\mathit{EF}$， $\stackrel{̂}{\mathit{FB}}$， $\mathit{AB}$所围成图形（图中阴影部分）的面积等于　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，将 $\angle \mathit{ABC}$绕点 $A$按逆时针方向旋转一定角度后， $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$交 $\mathit{CD}$边于点 $G$．连接 $B{B}^{\text{'}}$、 $C{C}^{\text{'}}$．若 $\mathit{AD}=7$， $\mathit{CG}=4$， $A{B}^{\text{'}}=B^{\text{'}}G$，则 $\frac{C{C}^{\text{'}}}{B{B}^{\text{'}}}=$　     　（结果保留根号）．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$上一点， $\mathit{PQ}$垂直平分 $\mathit{BE}$，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$、 $\mathit{BC}$于点 $P$、 $O$、 $Q$，连接 $\mathit{BP}$、 $\mathit{EQ}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BPEQ}$是菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $F$为 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{OF}+\mathit{OB}=9$，求 $\mathit{PQ}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{BC}=5$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别在矩形 $\mathit{ABCD}$各边上，且 $\mathit{AE}=\mathit{CG}$， $\mathit{BF}=\mathit{DH}$，则四边形 $\mathit{EFGH}$周长的最小值为 $($　　 $)$

A． $5\sqrt{5}$B． $10\sqrt{5}$C． $10\sqrt{3}$D． $15\sqrt{3}$

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$，点 $E$在边 $\mathit{BC}$上，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿直线 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$恰好落在对角线 $\mathit{AC}$上的点 $F$处，若 $\angle \mathit{EAC}=\angle \mathit{ECA}$，则 $\mathit{AC}$的长是 $($　　 $)$

A． $3\sqrt{3}$B．6C．4D．5

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$， $D$分别落在 $x$轴、 $y$轴上， $\mathit{OD}=2\mathit{OA}=6$， $\mathit{AD}:\mathit{AB}=3:1$，则点 $C$的坐标是 $($　　 $)$

A． $(2,7)$B． $(3,7)$C． $(3,8)$D． $(4,8)$

如图， $\mathit{AC}$为矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线， 将边 $\mathit{AB}$沿 $\mathit{AE}$折叠， 使点 $B$落在 $\mathit{AC}$上的点 $M$处， 将边 $\mathit{CD}$沿 $\mathit{CF}$折叠， 使点 $D$落在 $\mathit{AC}$上的点 $N$处 ．

（1） 求证： 四边形 $\mathit{AECF}$是平行四边形；

（2） 若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=10$，求四边形 $\mathit{AECF}$的面积 ．

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 $($　　 $)$

A．6B．3C．2.5D．2

下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是 $($　　 $)$

A．对角线相等B．对角线互相平分

C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4$，点 $P$是直线 $\mathit{AD}$上一动点，若满足 $\mathit{\Delta PBC}$是等腰三角形的点 $P$有且只有3个，则 $\mathit{AB}$的长为　      　．

如图，把正方形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 $\mathit{MN}$，再过点 $B$折叠纸片，使点 $A$落在 $\mathit{MN}$上的点 $F$处，折痕为 $\mathit{BE}$．若 $\mathit{AB}$的长为2，则 $\mathit{FM}$的长为 $($　　 $)$

A．2B． $\sqrt{3}$C． $\sqrt{2}$D．1

如图， 在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=8\mathit{cm}$，点 $P$从点 $B$出发， 沿对角线 $\mathit{BD}$向点 $D$匀速运动， 速度为 $4\mathit{cm}/s$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{BD}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$，以 $\mathit{PQ}$为一边作正方形 $\mathit{PQMN}$，使得点 $N$落在射线 $\mathit{PD}$上， 点 $O$从点 $D$出发， 沿 $\mathit{DC}$向点 $C$匀速运动， 速度为 $3\mathit{cm}/s$，以 $O$为圆心， $0.8\mathit{cm}$为半径作 $\odot O$，点 $P$与点 $O$同时出发， 设它们的运动时间为 $t$（单 位： $s\left)\right(0<t<\frac{8}{5})$．

（1） 如图 1 ，连接 $\mathit{DQ}$平分 $\angle \mathit{BDC}$时， $t$的值为　   　；

（2） 如图 2 ，连接 $\mathit{CM}$，若 $\mathit{\Delta CMQ}$是以 $\mathit{CQ}$为底的等腰三角形， 求 $t$的值；

（3） 请你继续进行探究， 并解答下列问题：

①证明： 在运动过程中， 点 $O$始终在 $\mathit{QM}$所在直线的左侧；

②如图 3 ，在运动过程中， 当 $\mathit{QM}$与 $\odot O$相切时， 求 $t$的值；并判断此时 $\mathit{PM}$与 $\odot O$是否也相切？说明理由 ．