初中数学矩形的判定解答题

如图，在圆 $O$ 中，弦 $\mathit{AB}$ 等于弦 $\mathit{CD}$ ，且相交于点 $P$ ，其中 $E$ 、 $F$ 为 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CD}$ 中点．

（1）证明： $\mathit{OP}\perp \mathit{EF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{CE}$ ，若 $\mathit{AF}//\mathit{OP}$ ，证明：四边形 $\mathit{AFEC}$ 为矩形．

如图，点 $C$ 是 $\mathit{BE}$ 的中点，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACED}$ 是平行四边形；

（2）如果 $\mathit{AB}=\mathit{AE}$ ，求证：四边形 $\mathit{ACED}$ 是矩形．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$，点 $E$为线段 $\mathit{AB}$的三等分点（靠近点 $A)$，点 $F$为线段 $\mathit{CD}$的三等分点（靠近点 $C)$，且 $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$．将 $\mathit{\Delta BCE}$沿 $\mathit{CE}$对折， $\mathit{BC}$边与 $\mathit{AD}$边交于点 $G$，且 $\mathit{DC}=\mathit{DG}$．

（1）证明：四边形 $\mathit{AECF}$为矩形；

（2）求四边形 $\mathit{AECG}$的面积．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AE}$ 并延长交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{AC}$ ，若 $\mathit{AD}=\mathit{AF}$ ，求证：四边形 $\mathit{ABFC}$ 是矩形．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\cong \mathit{\Delta FAE}$；

（2）求证：四边形 $\mathit{ADCF}$为矩形．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $\mathit{AOB}$的直径， $C$是半圆上的一点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交半圆于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是半圆的切线；

（2）若 $\mathit{DH}=2\sqrt{5}$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，求半圆的直径．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $E$是 $\mathit{CD}$中点，连接 $\mathit{OE}$．过点 $C$作 $\mathit{CF}//\mathit{BD}$交 $\mathit{OE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$．

求证：（1） $\mathit{\Delta ODE}\cong \mathit{\Delta FCE}$；

（2）四边形 $\mathit{OCFD}$是矩形．

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$． $E$， $F$是 $\mathit{AC}$上的两点，并且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DOE}\cong \mathit{\Delta BOF}$；

（2）若 $\mathit{BD}=\mathit{EF}$，连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{DF}$，判断四边形 $\mathit{EBFD}$的形状，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $O$是边 $\mathit{AC}$上一个动点，过点 $O$作直线 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$分别交 $\angle \mathit{ACB}$、外角 $\angle \mathit{ACD}$的平分线于点 $E$、 $F$．

（1）若 $\mathit{CE}=8$， $\mathit{CF}=6$，求 $\mathit{OC}$的长；

（2）连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{AF}$．问：当点 $O$在边 $\mathit{AC}$上运动到什么位置时，四边形 $\mathit{AECF}$是矩形？并说明理由．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\angle \mathit{ABC}:\angle \mathit{BAD}=1:2$ ， $\mathit{BE}//\mathit{AC}$ ， $\mathit{CE}//\mathit{BD}$ ．

（1）求 $\tan \angle \mathit{DBC}$ 的值；

（2）求证：四边形 $\mathit{OBEC}$ 是矩形．

已知：如图，平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $E$，点 $G$为 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CG}$， $\mathit{CG}$的延长线交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{FD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AF}$；

（2）若 $\mathit{AG}=\mathit{AB}$， $\angle \mathit{BCD}=120°$，判断四边形 $\mathit{ACDF}$的形状，并证明你的结论．

如图，已知 $\mathit{BA}=\mathit{AE}=\mathit{DC}$， $\mathit{AD}=\mathit{EC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCA}\cong \mathit{\Delta EAC}$；

（2）只需添加一个条件，即　　，可使四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形．请加以证明．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$

（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）

①作线段 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $l$，交 $\mathit{AC}$于点 $O$；

②连接 $\mathit{BO}$并延长，在 $\mathit{BO}$的延长线上截取 $\mathit{OD}$，使得 $\mathit{OD}=\mathit{OB}$；

③连接 $\mathit{DA}$、 $\mathit{DC}$

（2）判断四边形 $\mathit{ABCD}$的形状，并说明理由．

如图所示，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\angle \mathit{OBC}=\angle \mathit{OCB}$．

（1）求证：平行四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形；

（2）请添加一个条件使矩形 $\mathit{ABCD}$为正方形．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，各内角的平分线分别相交于点 $E$， $F$， $G$， $H$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABG}\cong \mathit{\Delta CDE}$；

（2）猜一猜：四边形 $\mathit{EFGH}$是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；

（3）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=4$， $\angle \mathit{DAB}=60°$，求四边形 $\mathit{EFGH}$的面积．