初中数学矩形的判定解答题

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AE}$ 并延长交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{AC}$ ，若 $\mathit{AD}=\mathit{AF}$ ，求证：四边形 $\mathit{ABFC}$ 是矩形．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\angle \mathit{ABC}:\angle \mathit{BAD}=1:2$ ， $\mathit{BE}//\mathit{AC}$ ， $\mathit{CE}//\mathit{BD}$ ．

（1）求 $\tan \angle \mathit{DBC}$ 的值；

（2）求证：四边形 $\mathit{OBEC}$ 是矩形．

如图，点 $C$ 是 $\mathit{BE}$ 的中点，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACED}$ 是平行四边形；

（2）如果 $\mathit{AB}=\mathit{AE}$ ，求证：四边形 $\mathit{ACED}$ 是矩形．

如图①，在中，，过上一点作交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）当点为中点时，的形状为　　；

（3）延长图①中的到点，使，连接，，，得到图②，若，判断四边形的形状，并说明理由．

如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．

（1）求证：；

（2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．

如图，已知 $\mathit{BA}=\mathit{AE}=\mathit{DC}$， $\mathit{AD}=\mathit{EC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCA}\cong \mathit{\Delta EAC}$；

（2）只需添加一个条件，即　　，可使四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形．请加以证明．

综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以"菱形纸片的剪拼"为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片 $\mathit{ABCD}(\angle \mathit{BAD}>90°)$ 沿对角线 $\mathit{AC}$ 剪开，得到 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta ACD}$ ．

操作发现

（1）将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$ 以 $A$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $\alpha$ ，使 $\alpha =\angle \mathit{BAC}$ ，得到如图2所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$ ，分别延长 $\mathit{BC}$ 和 $\mathit{DC}\text{'}$ 交于点 $E$ ，则四边形 $\mathit{ACEC}\text{'}$ 的形状是 　 　；

（2）创新小组将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$ 以 $A$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $\alpha$ ，使 $\alpha =2\angle \mathit{BAC}$ ，得到如图3所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$ ，连接 $\mathit{DB}$ ， $C\text{'}C$ ，得到四边形 $\mathit{BCC}\text{'}D$ ，发现它是矩形，请你证明这个结论；

实践探究

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中 $\mathit{BC}=13\mathit{cm}$ ， $\mathit{AC}=10\mathit{cm}$ ，然后提出一个问题：将△ $\mathit{AC}\text{'}D$ 沿着射线 $\mathit{DB}$ 方向平移 $\mathit{acm}$ ，得到△ $A\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，连接 $\mathit{BD}\text{'}$ ， $\mathit{CC}\text{'}$ ，使四边形 $\mathit{BCC}\text{'}D$ 恰好为正方形，求 $a$ 的值，请你解答此问题；

（4）请你参照以上操作，将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$ 在同一平面内进行一次平移，得到△ $A\text{'}C\text{'}D$ ，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $\mathit{AOB}$的直径， $C$是半圆上的一点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交半圆于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是半圆的切线；

（2）若 $\mathit{DH}=2\sqrt{5}$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，求半圆的直径．

问题发现

（1）如图（1），四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，若 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，则线段 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AC}$ 的位置关系为 　 　；

拓展探究

（2）如图（2），在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中，点 $F$ 为斜边 $\mathit{BC}$ 的中点，分别以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 为底边，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 外部作等腰三角形 $\mathit{ABD}$ 和等腰三角形 $\mathit{ACE}$ ，连接 $\mathit{FD}$ ， $\mathit{FE}$ ，分别交 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ， $N$ ，试猜想四边形 $\mathit{FMAN}$ 的形状，并说明理由；

解决问题

（3）如图（3），在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，以点 $A$ 为旋转中心将正方形 $\mathit{ABCD}$ 旋转 $60°$ ，得到正方形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，请直接写出 $\mathit{BD}\text{'}$ 的长度．

如图所示，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\angle \mathit{OBC}=\angle \mathit{OCB}$．

（1）求证：平行四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形；

（2）请添加一个条件使矩形 $\mathit{ABCD}$为正方形．

（年云南省曲靖市）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长是，tanα=，求四边形OBEC的面积．

如图，在圆 $O$ 中，弦 $\mathit{AB}$ 等于弦 $\mathit{CD}$ ，且相交于点 $P$ ，其中 $E$ 、 $F$ 为 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CD}$ 中点．

（1）证明： $\mathit{OP}\perp \mathit{EF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{CE}$ ，若 $\mathit{AF}//\mathit{OP}$ ，证明：四边形 $\mathit{AFEC}$ 为矩形．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $E$是 $\mathit{CD}$中点，连接 $\mathit{OE}$．过点 $C$作 $\mathit{CF}//\mathit{BD}$交 $\mathit{OE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$．

求证：（1） $\mathit{\Delta ODE}\cong \mathit{\Delta FCE}$；

（2）四边形 $\mathit{OCFD}$是矩形．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，各内角的平分线分别相交于点 $E$， $F$， $G$， $H$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABG}\cong \mathit{\Delta CDE}$；

（2）猜一猜：四边形 $\mathit{EFGH}$是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；

（3）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=4$， $\angle \mathit{DAB}=60°$，求四边形 $\mathit{EFGH}$的面积．

如图，菱形的对角线，相交于点，且，．求证：四边形是矩形．