初中数学中点四边形解答题

如图1，已知点 $E$， $F$， $G$， $H$分别是四边形 $\mathit{ABCD}$各边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，根据以下思路可以证明四边形 $\mathit{EFGH}$是平行四边形：

（1）如图2，将图1中的点 $C$移动至与点 $E$重合的位置， $F$， $G$， $H$仍是 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，求证：四边形 $\mathit{CFGH}$是平行四边形；

（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的 $5\times 5$网格中，点 $A$， $C$， $B$都在格点上，在格点上画出点 $D$，使点 $C$与 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点 $F$， $G$， $H$组成正方形 $\mathit{CFGH}$；

（3）在（2）条件下求出正方形 $\mathit{CFGH}$的边长．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，如果对角线 $\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，　    　一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若 $M$、 $N$、 $P$、 $Q$分别是等角线四边形 $\mathit{ABCD}$四边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$的中点，当对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$还要满足　　时，四边形 $\mathit{MNPQ}$是正方形．

（2）如图2，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$， $D$为平面内一点．

①若四边形 $\mathit{ABCD}$是等角线四边形，且 $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积是　 　；

②设点 $E$是以 $C$为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形 $\mathit{ABED}$是等角线四边形，写出四边形 $\mathit{ABED}$面积的最大值，并说明理由．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，分别取 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点 $E$， $F$， $G$， $H$，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GH}$， $\mathit{HE}$，求证：四边形 $\mathit{EFGH}$是菱形．

阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．

结合小敏的思路作答

（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：

（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．

【再现】如图①，在中，点，分别是，的中点，可以得到：，且．（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形的形状，并加以证明．

【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形中，满足什么条件时，四边形是菱形？你添加的条件是：　　．（只添加一个条件）

（2）如图③，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，对角线，相交于点．若，四边形面积为5，则阴影部分图形的面积和为　　．