初中数学四边形综合题解答题

如图，点 $E$， $F$分别在正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{DE}=\mathit{CF}$，点 $P$在射线 $\mathit{BC}$上（点 $P$不与点 $F$重合）．将线段 $\mathit{EP}$绕点 $E$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{EG}$，过点 $E$作 $\mathit{GD}$的垂线 $\mathit{QH}$，垂足为点 $H$，交射线 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，线段 $\mathit{BP}$， $\mathit{QC}$， $\mathit{EC}$的数量关系为　　．

（2）如图2，若点 $E$不是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为6， $\mathit{AB}=3\mathit{DE}$， $\mathit{QC}=1$，请直接写出线段 $\mathit{BP}$的长．

如图，线段 $\mathit{AB}=8$，射线 $\mathit{BG}\perp \mathit{AB}$， $P$为射线 $\mathit{BG}$上一点，以 $\mathit{AP}$为边作正方形 $\mathit{APCD}$，且点 $C$、 $D$与点 $B$在 $\mathit{AP}$两侧，在线段 $\mathit{DP}$上取一点 $E$，使 $\angle \mathit{EAP}=\angle \mathit{BAP}$，直线 $\mathit{CE}$与线段 $\mathit{AB}$相交于点 $F$（点 $F$与点 $A$、 $B$不重合）．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEP}\cong \mathit{\Delta CEP}$；

（2）判断 $\mathit{CF}$与 $\mathit{AB}$的位置关系，并说明理由；

（3）求 $\mathit{\Delta AEF}$的周长．

如图1，以 $▱\mathit{ABCD}$的较短边 $\mathit{CD}$为一边作菱形 $\mathit{CDEF}$，使点 $F$落在边 $\mathit{AD}$上，连接 $\mathit{BE}$，交 $\mathit{AF}$于点 $G$．

（1）猜想 $\mathit{BG}$与 $\mathit{EG}$的数量关系，并说明理由；

（2）延长 $\mathit{DE}$、 $\mathit{BA}$交于点 $H$，其他条件不变：

①如图2，若 $\angle \mathit{ADC}=60°$，求 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{BH}}$的值；

②如图3，若 $\angle \mathit{ADC}=\alpha (0°<\alpha <90°)$，直接写出 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{BH}}$的值（用含 $\alpha$的三角函数表示）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$， $O$是 $\mathit{BC}$边的中点，点 $E$是正方形内一动点， $\mathit{OE}=2$，连接 $\mathit{DE}$，将线段 $\mathit{DE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$得 $\mathit{DF}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $A$， $E$， $O$三点共线，连接 $\mathit{OF}$，求线段 $\mathit{OF}$的长．

（3）求线段 $\mathit{OF}$长的最小值．

如图1， $\angle \mathit{PAQ}=90°$，分别在 $\angle \mathit{PAQ}$的两边 $\mathit{AP}$， $\mathit{AQ}$上取点 $B$， $E$，使 $\mathit{AB}=\mathit{AE}$，点 $D$在 $\angle \mathit{PAQ}$的平分线 $\mathit{AM}$上， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，点 $F$在线段 $\mathit{AB}$上（不与点 $A$重合），以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$为邻边作 $▱\mathit{ABCD}$，连接 $\mathit{CF}$， $\mathit{EF}$．

（1）猜想 $\mathit{CF}$与 $\mathit{EF}$之间的关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$交 $\mathit{AM}$于点 $H$．

①求证： $\mathit{AD}+2\mathit{DH}=\sqrt{2}\mathit{AB}$．

②若 $\mathit{AB}=9$， $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{AH}}=\frac{2}{7}$，求线段 $\mathit{BC}$的长．

请完成如下探究系列的有关问题：

探究1：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $D$为 $\mathit{BC}$上一动点，连接 $\mathit{AD}$，以 $\mathit{AD}$为边在 $\mathit{AD}$的右侧作正方形 $\mathit{ADEF}$，连接 $\mathit{CF}$，则线段 $\mathit{CF}$， $\mathit{BD}$之间的位置关系为　 　，数量关系为　 　．

探究2：如图2，当点 $D$运动到线段 $\mathit{BC}$的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）

探究3：如图3，如果 $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}\ne 90°$， $\angle \mathit{BCA}$仍然保留为 $45°$，点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上运动，请你判断线段 $\mathit{CF}$， $\mathit{BD}$之间的位置关系，并说明理由．

边长为 $2\sqrt{2}$的正方形 $\mathit{ABCD}$中， $P$是对角线 $\mathit{AC}$上的一个动点（点 $P$与 $A$、 $C$不重合），连接 $\mathit{BP}$，将 $\mathit{BP}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$到 $\mathit{BQ}$，连接 $\mathit{QP}$， $\mathit{QP}$与 $\mathit{BC}$交于点 $E$， $\mathit{QP}$延长线与 $\mathit{AD}$（或 $\mathit{AD}$延长线）交于点 $F$．

（1）连接 $\mathit{CQ}$，证明： $\mathit{CQ}=\mathit{AP}$；

（2）设 $\mathit{AP}=x$， $\mathit{CE}=y$，试写出 $y$关于 $x$的函数关系式，并求当 $x$为何值时， $\mathit{CE}=\frac{3}{8}\mathit{BC}$；

（3）猜想 $\mathit{PF}$与 $\mathit{EQ}$的数量关系，并证明你的结论．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$．

（1）如图1， $E$， $G$分别是 $\mathit{OB}$， $\mathit{OC}$上的点， $\mathit{CE}$与 $\mathit{DG}$的延长线相交于点 $F$．若 $\mathit{DF}\perp \mathit{CE}$，求证： $\mathit{OE}=\mathit{OG}$；

（2）如图2， $H$是 $\mathit{BC}$上的点，过点 $H$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{BC}$，交线段 $\mathit{OB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DH}$交 $\mathit{CE}$于点 $F$，交 $\mathit{OC}$于点 $G$．若 $\mathit{OE}=\mathit{OG}$，

①求证： $\angle \mathit{ODG}=\angle \mathit{OCE}$；

②当 $\mathit{AB}=1$时，求 $\mathit{HC}$的长．

阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $M$是 $\mathit{BC}$边上一点（不含端点 $B$， $C)$， $N$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外角 $\angle \mathit{ACH}$的平分线上一点，且 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$．求证： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

点拨：如图②，作 $\angle \mathit{CBE}=60°$， $\mathit{BE}$与 $\mathit{NC}$的延长线相交于点 $E$，得等边 $\mathit{\Delta BEC}$，连接 $\mathit{EM}$．易证： $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta EBM}\left(\mathit{SAS}\right)$，可得 $\mathit{AM}=\mathit{EM}$， $\angle 1=\angle 2$；又 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$，则 $\mathit{EM}=\mathit{MN}$，可得 $\angle 3=\angle 4$；由 $\angle 3+\angle 1=\angle 4+\angle 5=60°$，进一步可得 $\angle 1=\angle 2=\angle 5$，又因为 $\angle 2+\angle 6=120°$，所以 $\angle 5+\angle 6=120°$，即： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

问题：如图③，在正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $M_1$是 $B_1{C}_1$边上一点（不含端点 $B_1$， $C_1)$， $N_1$是正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的外角 $\angle D_1{C}_1{H}_1$的平分线上一点，且 $A_1{M}_1=M_1{N}_1$．求证： $\angle A_1{M}_1{N}_1=90°$．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形，点 $E$在直线 $\mathit{AC}$上，连接 $\mathit{BE}$，以 $\mathit{BE}$为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$，将线段 $\mathit{CE}$绕点 $C$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{CD}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{ED}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta ACD}$；

（2）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证：四边形 $\mathit{ADEF}$是平行四边形；

（3）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$延长线上时，四边形 $\mathit{ADEF}$还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

（1）如图1，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使 $\mathit{BC}$落在对角线 $\mathit{BD}$上，折痕为 $\mathit{BE}$，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，若 $\angle \mathit{ADB}=46°$，则 $\angle \mathit{DBE}$的度数为　　 $°$．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=9$．

【画一画】

如图2，点 $E$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CE}$所在直线上，折痕设为 $\mathit{MN}$（点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上），利用直尺和圆规画出折痕 $\mathit{MN}$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$在这张矩形纸片的边 $\mathit{BC}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{FB}$落在射线 $\mathit{FD}$上，折痕为 $\mathit{GF}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，若 $\mathit{AG}=\frac{7}{3}$，求 $B\text{'}D$的长；

【验一验】

如图4，点 $K$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DK}=3$，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CK}$所在直线上，折痕为 $\mathit{HI}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，小明认为 $B\text{'}I$所在直线恰好经过点 $D$，他的判断是否正确，请说明理由．

如图1，将 $\mathit{\Delta ABC}$纸片沿中位线 $\mathit{EH}$折叠，使点 $A$对称点 $D$落在 $\mathit{BC}$边上，再将纸片分别沿等腰 $\mathit{\Delta BED}$和等腰 $\mathit{\Delta DHC}$的底边上的高线 $\mathit{EF}$， $\mathit{HG}$折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

（1）将 $▱\mathit{ABCD}$纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形 $\mathit{AEFG}$，则操作形成的折痕分别是线段　　，　　； $S_{\mathit{矩形}\mathit{AEFG}}:S_{▱\mathit{ABCD}}=$　　．

（2） $▱\mathit{ABCD}$纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形 $\mathit{EFGH}$，若 $\mathit{EF}=5$， $\mathit{EH}=12$，求 $\mathit{AD}$的长；

（3）如图4，四边形 $\mathit{ABCD}$纸片满足 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}<\mathit{BC}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=10$，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的长．

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，求 $\angle A$的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $\mathit{DEBF}$，使顶点 $E$， $F$分别落在边 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$上的点 $A$， $C$处，折痕分别为 $\mathit{DG}$， $\mathit{DH}$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，若 $\mathit{CB}=\mathit{CD}=4$，则当 $\mathit{AD}$的长为何值时， $\mathit{AB}$的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $\mathit{AC}$的长．

四边形 $\mathit{ABCD}$是边长为4的正方形，点 $E$在边 $\mathit{AD}$所在直线上，连接 $\mathit{CE}$，以 $\mathit{CE}$为边，作正方形 $\mathit{CEFG}$（点 $D$，点 $F$在直线 $\mathit{CE}$的同侧），连接 $\mathit{BF}$．

（1）如图1，当点 $E$与点 $A$重合时，请直接写出 $\mathit{BF}$的长；

（2）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AD}$上时， $\mathit{AE}=1$；

①求点 $F$到 $\mathit{AD}$的距离；

②求 $\mathit{BF}$的长；

（3）若 $\mathit{BF}=3\sqrt{10}$，请直接写出此时 $\mathit{AE}$的长．

$\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$为直线 $\mathit{BC}$上一动点（点 $D$不与 $B$， $C$重合），以 $\mathit{AD}$为边在 $\mathit{AD}$右侧作正方形 $\mathit{ADEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）观察猜想

如图1，当点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上时，

① $\mathit{BC}$与 $\mathit{CF}$的位置关系为：　　．

② $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系为：　　；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2，当点 $D$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点 $D$在线段 $\mathit{BC}$的延长线上时，延长 $\mathit{BA}$交 $\mathit{CF}$于点 $G$，连接 $\mathit{GE}$．若已知 $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$， $\mathit{CD}=\frac{1}{4}\mathit{BC}$，请求出 $\mathit{GE}$的长．