初中数学四边形综合题解答题

如图1， $\angle \mathit{PAQ}=90°$，分别在 $\angle \mathit{PAQ}$的两边 $\mathit{AP}$， $\mathit{AQ}$上取点 $B$， $E$，使 $\mathit{AB}=\mathit{AE}$，点 $D$在 $\angle \mathit{PAQ}$的平分线 $\mathit{AM}$上， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，点 $F$在线段 $\mathit{AB}$上（不与点 $A$重合），以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$为邻边作 $▱\mathit{ABCD}$，连接 $\mathit{CF}$， $\mathit{EF}$．

（1）猜想 $\mathit{CF}$与 $\mathit{EF}$之间的关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$交 $\mathit{AM}$于点 $H$．

①求证： $\mathit{AD}+2\mathit{DH}=\sqrt{2}\mathit{AB}$．

②若 $\mathit{AB}=9$， $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{AH}}=\frac{2}{7}$，求线段 $\mathit{BC}$的长．

如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

（Ⅱ）若 $\mathit{AP}=\sqrt{2}$，求CF的长．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，以点 $E$为直角顶点的直角三角形 $\mathit{EFG}$的两边 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别过点 $B$， $C$， $\angle F=30°$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）将 $\mathit{\Delta EFG}$绕点 $E$按顺时针方向旋转，当旋转到 $\mathit{EF}$与 $\mathit{AD}$重合时停止转动，若 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$相交于点 $M$， $N$（如图 $2)$．

①求证： $\mathit{\Delta BEM}\cong \mathit{\Delta CEN}$；

②若 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{\Delta BMN}$面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$恰好在 $\mathit{FG}$上（如图 $3)$，求 $\sin \angle \mathit{EBG}$的值．

已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．

如图，在正方形 ABCD中， AB＝6， M是对角线 BD上的一个动点（0＜ DM＜ $\frac{1}{2}$ BD），连接 AM，过点 M作 MN⊥ AM交 BC于点 N．

（1）如图①，求证： MA＝ MN；

（2）如图②，连接 AN， O为 AN的中点， MO的延长线交边 AB于点 P，当 $\frac{S_{△\mathit{AMN}}}{S_{△\mathit{BCD}}}=\frac{13}{18}$ 时，求 AN和 PM的长；

（3）如图③，过点 N作 NH⊥ BD于 H，当 AM＝2 $\mathrm{}\sqrt{5}$ 时，求△ HMN的面积．

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线， $\mathit{AM}\perp \mathit{BN}$于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设 $\mathit{BC}＝a，\mathit{AC}＝b，\mathit{AB}＝c$．

【特例探究】

（1）如图1，当 $\mathit{tan}\angle \mathit{PAB}＝1$， $c=4\sqrt{2}$时，a＝　　，b＝　　；

如图2，当 $\angle \mathit{PAB}＝30°$， $c＝2$时，a＝　　，b＝　；

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且 $\mathit{AD}＝3\mathit{AE}，\mathit{BC}＝3\mathit{BF}$，连接AF、BE、CE，且 $\mathit{BE}\perp \mathit{CE}$于E，AF与BE相交点G， $\mathit{AD}=3\sqrt{5}$， $\mathit{AB}＝3$，求AF的长．

定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，

①若 $\mathit{AB}=\mathit{CD}=1$， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$，求对角线 $\mathit{BD}$的长．

②若 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$，

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=9$，点 $P$是对角线 $\mathit{BD}$上一点，且 $\mathit{BP}=2\mathit{PD}$，过点 $P$作直线分别交边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，使四边形 $\mathit{ABFE}$是等腰直角四边形，求 $\mathit{AE}$的长．

邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第 n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为 n阶准菱形，如图1，▱ ABCD中，若 AB＝1， BC＝2，则▱ ABCD为1阶准菱形．

（1）猜想与计算：

邻边长分别为3和5的平行四边形是 　　阶准菱形；已知▱ ABCD的邻边长分别为 a， b（ a＞ b），满足 a＝8 b+ r， b＝5 r，请写出▱ ABCD是 　　阶准菱形．

（2）操作与推理：

小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ ABCD沿 BE折叠（点 E在 AD上），使点 A落在 BC边上的点 F处，得到四边形 ABFE．请证明四边形 ABFE是菱形．

已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证 $\mathit{OE}＝\mathit{OF}$（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当 $\angle \mathit{OFE}＝30°$时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于 的对称图形为 ．

（1）求证：四边形 是菱形；

（2）连接 ，若 ， ．

①求 的值；

②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后停止运动，当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间．

如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．

$\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$为直线 $\mathit{BC}$上一动点（点 $D$不与 $B$， $C$重合），以 $\mathit{AD}$为边在 $\mathit{AD}$右侧作正方形 $\mathit{ADEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）观察猜想

如图1，当点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上时，

① $\mathit{BC}$与 $\mathit{CF}$的位置关系为：　　．

② $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系为：　　；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2，当点 $D$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点 $D$在线段 $\mathit{BC}$的延长线上时，延长 $\mathit{BA}$交 $\mathit{CF}$于点 $G$，连接 $\mathit{GE}$．若已知 $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$， $\mathit{CD}=\frac{1}{4}\mathit{BC}$，请求出 $\mathit{GE}$的长．

如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$，问四边形 $\mathit{ABCD}$是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$交于点 $O$， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$．试证明： $A{B}^2+C{D}^2=A{D}^2+B{C}^2$；

（3）解决问题：如图3，分别以 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$的直角边 $\mathit{AC}$和斜边 $\mathit{AB}$为边向外作正方形 $\mathit{ACFG}$和正方形 $\mathit{ABDE}$，连接 $\mathit{CE}$、 $\mathit{BG}$、 $\mathit{GE}$．已知 $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AB}=5$，求 $\mathit{GE}$的长．

（1）如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，若 $\mathit{AE}$是 $\angle \mathit{BAD}$的平分线，试判断 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，易证 $\mathit{\Delta AEB}\cong \mathit{\Delta FEC}$得到 $\mathit{AB}=\mathit{FC}$，从而把 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$转化在一个三角形中即可判断．

$\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$之间的等量关系　　；

（2）问题探究：如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{DC}$的延长线交于点 $F$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，若 $\mathit{AE}$是 $\angle \mathit{BAF}$的平分线，试探究 $\mathit{AB}$， $\mathit{AF}$， $\mathit{CF}$之间的等量关系，并证明你的结论．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形， $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $E$在射线 $\mathit{AC}$上（不包括点 $A$和点 $C)$，过点 $E$的直线 $\mathit{GH}$交直线 $\mathit{AD}$于点 $G$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，且 $\mathit{GH}//\mathit{DC}$，点 $F$在 $\mathit{BC}$的延长线上， $\mathit{CF}=\mathit{AG}$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，

①判断 $\mathit{\Delta AEG}$的形状，并说明理由．

②求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形．

（2）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上时， $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．